人教版高中数学必修5《基本不等式》教案.docVIP

课题：基本不等式 教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4 一、教学目标： 1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法； 3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣； 4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 二、教学重点和难点： 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程； 难点：注意基本不等式等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。 三、教学方法：启发、探究式相结合 四、教学工具：多媒体课件 五、教学过程： 一、问题引入: 如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、探究过程： 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。 探究1： （1）正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿ （2）四个直角三角形的面积和 S’=＿＿ （3）S与S’有什么样的关系？ 这样，三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。 问题：你能证明这个结论吗？ 证明：（作差法） 因为 当时， 当时， 所以，，即 总结结论1： 一般的，如果 文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。 2、从几何图形的面积关系认识基本不等式 探究2： （1）特别的，如果a0,b0,我们用、分别代替a、b ，可得到什么结论？ 替换后得到：， 通常我们把上式写作： （2）你能证明基本不等式吗？ 总结结论2： 当且仅当a=b时，等号成立。 探究3： 理解基本不等式的几何意义 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，或利用相交弦定理，那么 即CD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 当且仅当a=b时“＝”号成立 三、应用举例 例1.（1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少? 例1反思： 1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且a＋b＝M，M为定值，则 等号当且仅当a＝b时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且ab＝P，P为定值，则 等号当且仅当a＝b时成立. 例2、若x0，求的最小值 变1：若 x0 呢？ 变2：若x3 ,求的最小值 再次归纳小结，加深印象，得到升华： 利用基本不等式求函数最值应注意: ①函数式中相关项必须为正; ②所求函数式中,含变数的各项和或积 必须为定值; ③必须有自变量的值能使函数取到 “=” 号. 即是：一正、二定、三相等。 四、课堂小结： 1、本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用。 （1） （2） 当且仅当a=b时，等号成立 2、注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”成立的条件。 （1） （2） 当且仅当a=b时，等号成立 3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 五、课堂练习： 1、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？ 2、用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？ 3、若0x1，求x（1-x）的最大 六、作业与思考： 1、课本P100 习题3.4 A组 1﹑2 2、思考：若x0,求的最大值。 课题：基本不等式 教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4 一、教材分析： 1.教材的地位和作用 基本不等式是《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》第三章的内容，这节课的内容是学习基本不等式：。这个不等式不管在数学解题还是在解决实际问题上都有着极大的应用，而学生常常不会利用这个式子或者