微分方程模型(2014zhouqingxin).pptVIP

一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 y=rx h P x0 hm x0*=N/2 P* y=E*x y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例 第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 §4 战争模型 一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为u(t), v(t) f, g 取决于战争类型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力 模型假设 模型 正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援 f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率 a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率 0 正规战争模型 为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系 平方律 模型 乙方胜 游击战争模型 双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员 假设没有增援 f(x, y)=?cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率 c = ry py ry~射击率 py ~命中率 py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积 0 游击战争模型 线性律 模型 0 混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队 乙方必须10倍于甲方的兵力 设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 美国人曾用这个模型分析越南战争。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在 马来西亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要想 取胜必须至少投入8 倍于游击部队一方的兵力，而美国至多只能派出6 倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后的胜利。 微分方程模型 基础科学学院 周庆欣 联系方式 本次课的主要内容 1.微分方程法建模的的适用范围 2.利用微分方程建模的步骤 3.常见的利用微分方程法建模的案例 （1）放射性废料处理 （2）传染病模型 （3）最优捕鱼问题 （4）战争模型 一.微分方程法建模的的适用范围 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。  动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 微分方程模型是一类重要的动态模型 有人甚至认为：凡是和时间有关系的问题都可以建立微分方程模型。具体来说：种群数量模型，和物理学有关系的很多领域，如运动问题、衰变问题，和医药有关系的很多领域，如药动力学、传染病动力学等等 二、利用微分方程建模的步骤 微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研