第4篇 图论之树.pptVIP

第10章 树 树是图论中的一个非常重要的概念，而在计算机科学中有着非常广泛的应用，例如现代计算机操作系统均采用树形结构来组织文件和文件夹，本章介绍树的基本知识和应用。 在本章中，所谈到的图都假定是简单图；所谈到的回路均指简单回路或基本回路。并且同一个图形表示的回路(简单的或基本的)，可能有不同的交替序列表示方法，但我们规定它们表示的是同一条回路。 10.0 内容提要 与树相关的概念： 树、森林、根树、根、叶、分支点、生成树、最小生成树、k元树、k元完全树子树、有序树、祖先与后代、父亲与儿子、最优树等； 树的基本性质：m = n-1等； 树的算法：求生成树与最小生成树的算法、求最优树的算法、二元树遍历的算法、根树与二元树相互转化的算法等； 树的应用。 10.1 本章学习要求 10.2 树 10.2.1 树的定义与性质 例10.2.1 2006年德国世界杯8强的比赛结果图，最后胜利的队捧得大力神杯。 定义10.2.1 连通而不含回路的无向图称为无向树(Undirected Tree)，简称树(Tree)，常用T表示树。 树中度数为1的结点称为叶(Leaf)；度数大于1的结点称为分支点(Branch Point)或内部结点(Interior Point)。 每个连通分支都是树的无向图称为森林(Forest)。 平凡图称为平凡树(Trivial Tree)。 树中没有环和平行边，因此一定是简单图 在任何非平凡树中，都无度数为0的结点。 例10.2.2 判断下图中的图哪些是树？为什么？ 树的性质 定理10.2.1 设无向图G = V,E，|V| = n，|E| = m，下列各命题是等价的： G连通而不含回路(即G是树)； G中无回路，且m = n-1； G是连通的，且m = n-1； G中无回路，但在G中任二结点之间增加一条新边，就得到惟一的一条基本回路； G是连通的，但删除G中任一条边后，便不连通；(n≥2) G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2) 定理10.2.1 分析 直接证明这6个命题两两等价工作量太大，一般采用循环论证的方法，即证明 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。 定理10.2.1 证明 (1) (2)： 对n作归纳。n = 1时，m = 0，显然有m = n-1。假设n = k时命题成立，现证n = k+1时也成立。 由于G连通而无回路，所以G中至少有一个度数为1的结点v0，在G中删去v0及其关联的边，便得到k个结点的连通而无回路的图，由归纳假设知它有k-1条边。再将结点v0及其关联的边加回得到原图G，所以G中含有k+1个结点和k条边，符合公式m = n-1。 所以，G中无回路，且m = n-1。 (2) (3)： 证明只有一个连通分支。 设G有k个连通分支G1，G2，…，Gk，其结点数分别为n1，n2，…，nk，边数分别为m1，m2，…， mk，且 ， 。 由于G中无回路，所以每个Gi(i = 1, 2, …, k)均为树，因此mi = ni-1(i = 1, 2, …, k)，于是 故k = 1，所以G是连通的，且m = n-1。 (3) (4)： 首先证明G中无回路。对n作归纳。 n = 1时，m = n-1 = 0，显然无回路。 假设结点数n = k-1时无回路，下面考虑结点数n = k的情况。因G连通，故G中每一个结点的度数均大于等于1。可以证明至少有一个结点v0，使得deg(v0) = 1，因若k个结点的度数都大于等于2，则 ，从而m≥k，即至少有 k条边，但这与m = n-1矛盾。 在G中删去v0及其关联的边，得到新图G’，根据归纳假设知G’无回路，由于deg(v0) = 1，所以再将结点v0及其关联的边加回得到原图G，则G也无回路。 其次证明在G中任二结点vi，vj之间增加一条边(vi, vj)，得到一条且仅一条基本回路。 由于G是连通的，从vi到vj有一条通路L，再在L中增加一条边(vi, vj)，就构成一条回路。若此回路不是惟一和基本的，则删去此新边，G中必有回路，得出矛盾。 (4) (5)： 若G不连通，则存在两结点vi和vj，在vi和vj之间无通路，此时增加边(vi, vj)，不会产生回路，但这与题设矛盾。 由于G无回路，所以删去任一边，图便不连通。 (5) (6)： 由于G是连通的，因此G中任二结点之间都有通路，于是有一条基本通路。若此基本通路不惟一，则G中含有回路，删去回路上的一条边