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必修二 第二章空间点、线、面之间的位置关系 2.1 点、线、面之间的位置关系 一、知识梳理： 1．平面平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度） 平面的画法：通常画平行四边形来表示平面平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC上，记作：；点A在平面内，记作：；直线在平面内，记作 2.平面的基本性质 公理1 公理2 公理3 图形 语言 文字 语言 如果条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上都在这个平面内 经过不在同一条直线上的三点不共线的三点 如果两个平面有一个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是 符号 语言 A、B、C不共线 A、B、C确定平面 公理2 推论一经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面推论二经过两条相交直线,有且只有一个平面推论三经过两条平行直线,有且只有一个平面典型例题： 如图在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由： ⑴直线在平面内； ⑵设上下底面中心为，则平面与平面的交线为； ⑶点可以确定一平面； ⑷平面与平面重合. 练习： 1. 下面说法正确的是（ ）. ①平面的面积为②个平面重合比个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）. ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面 A.个 B.个 C.个 D.个 3. 如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.都不对 3.空间两直线的位置关系: 公理4（空间平行直线性质定理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即 （空间）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（既不相交，也不平行）。 （2）异面直线的画法有如下几种(异面)： 异面直线所成的角： 如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ∥,∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 图2-2 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 如图，，则直线与直线是异面直线. 典型例题： 在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴和 ⑵和 练习： 1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是（ ）. A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对 2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知,，且是异面直线，那么直线（ ）. A.至多与中的一条相交 B.至少与中的一条相交 C.与都相交 D.至少与中的一条平行 4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有___________条. 5. 长方体中,,=1，异面直线与所成角的余弦值是______. 4、空间直线与平面的位置关系 直线与平面位置关系只有三种： ⑴直线在平面内；⑵直线与平面相交；⑶直线与平面平行；其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外. 观察：如图直线与长方体的六个面有几种位置关系? 5、平面与平面的位置关系 两个平面的位置关系只有两种： ⑴两个平面平行——没有公共点；⑵两个平面相交——有一条公共直线 观察：还是在长方体中，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种? 典型例题：例1 下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则∥. ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. A. B. C. D. 例2. 已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面： ①∥,∥∥； ②∥,∥∥； ③∥,∥∥； ④∥,∥∥； ⑤,,∥∥. 其中正确的命题是（ ） A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤ 练习： 1. 直线在平面外，则（ ）. A.∥ B. 与至