《基本不等式的证明及应用》优质课比赛教案.docVIP

基本不等式的证明及应用 教学目标 知识目标:探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本方法，能应用基本不等式解决一些简单问题，渗透数形结合和等价化归等数学思想. 能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力. 情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣. 教学重点、难点 基本不等式（）及其证明. 教学过程 一、问题情境 1.有一架天平两臂之长略有差异，其他均精确，小王要用它来称一物体的重量，将此物体放在左右两个托盘各称一次，再将称的的数据相加后，除以2所得的结果就认为是物体的真实重量，你认为小王所测量结果是否准确？如果不准确，比真实重量是重还是轻？你能给小王提供一种用这架天平称量此物体真实重量的方法吗？ 2.引入课题 设第一次称量时，放物体一边的臂长为,另一边的臂长为,称得物体的重量为，第二次称得物体的重量为，用小王的方法所得的结果为,这样合理吗？ 事实上，设物体的实际质量为，根据力学原理有 ， ① ， ② ①②相乘再除以，可以得到 . 问题：与是否相等？若不相等，大小关系又怎样？ 二、学生活动 1.对于非负数，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数. 2.学生分组讨论. 3.学生通过取一些具体数据进行探究. a 30 59 92 70 25 11 20 b 39 99 23 99 54 100 20 34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17 20 34.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5 20 4.猜想：若，，当时，;当时,；当，时，很明显；当时，无意义. 5.初步结论：如果，，那么成立. 点评：诱发学生深入思考问题，教会学习、研究的方法——从特殊到一般是科学探求未知的有效手段. 三、建构数学 1.呈现课题：基本不等式的证明. 引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题. 2.基本不等式的证明： 证法1：（比较法） = =. 证法2：（分析法） 要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当时取“=”. 证法3：（综合法）a、b有 ??????????????? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ????????点评：（?）由证明过程可以发现，当且仅当时，两个均值相等，并解释当且仅当”两方面的含义 ??????（?）强调结论成立的条件：?，都是非负数，并举反例加以说明 ??????（?）比较法、分析法、综合法都是证明不等式的基本方法 3.通过严格的证明，得到下列结论： 定理：如果、是正数，那么（当且仅当时取“=”）让学生根据右图，尝试给出上述基本不等式 的几何解释，并思考这个基本不等式的其他证明方法. 4.对的几何解释： 如图，在圆中：为圆的直径，弦垂足为，，，由射影定理：，，则弦；而直径弦.所以，变形得：，当点与圆心重合时，即时取等号. 点评：抓住时机，渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性. 5.教师点评： （1）这个基本不等式的几何解释，即“半弦半径”. （2）这个基本不等式可否推广到“个（，）非负数”的情形，有兴趣的同学可以课后查阅有关资料. 四、数学运用 （一）例题 例1.已知、为正数，试证明下列不等式： （1）；（2）. 分析：可直接应用基本不等式进行证明，并注意基本不等式的应用条件. 证明：（略） 例2.已知函数，，求此函数的最小值. 分析：不能直接使用基本不等式，应将其变形为，并对前两项使用基本不等式. 解：（略） 点评：（1）在使用基本不等式求函数最值时，常需要将函数形式进行变形，以创造条件使用基本不等式. （2）在利用基本不等式求函数最值时，应注意“一正、二定、三相等”，即必须两个量都是正数（也可是非负数），才能直接使用基本不等式；要把函数式放缩到常数；等号才能取到. （二）练习 1.若，则有_________值为_________，此时________； 2.若，则有_________值为_________，此时________； 3.已知，，且，求的最大值； 4.已知，，且，求的最小值； 5.已知，求函数的最大值； 6.已知，求函数的最大值. 让学生板演，教师评析.做到师生互动；讲练结合. 五、回顾小结 让学生