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长方体在立体几何中的应用 发布者:曾繁荣 ??发布日期:2012-12-02 长方体是立体几何中的基本几何体，其结构对称，各元素之间具有相等、平等、垂直等关系，内涵丰富，它的性质已为学生所熟知，是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体，是展开空间想象的重要依托。某些数学问题，通过联想、类比，构造长方体模型，转化为熟知的形象，直观的模型，可迅速沟通已知和未知，起到搭桥铺路的作用，从而提高思维效率，轻松获解。 一、构造长方体模型解“判断题”。反例具有很强的说服力！立体几何中构造反例时，往往优先考虑长方体。 例题1、判断命题“一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角相等或互补。 二、构造长方体模型解“有关异面直线问题”。长方体是一个很重要的几何模型，它有12条棱，12条面对角线，4条体对角线，其中有平行直线，相交直线和异面直线。有关异面直线问题，借助长方体的特殊性求解，往往简明、直观、准确。 三、构造长方体模型解“有关线面垂直、面面垂直问题”。长方体有12条棱，有6个面，其中隐含着许多线面垂直、面面垂直关系，构造长方体解有关线面垂直、面面垂直的问题，能把复杂的位置、度量关系简化成典型的位置、度量关系，有利于显露已知与未知的内在联系，以简驭繁。 四、构造长方体模型解“有关四棱锥问题”。在一个顶点处得三条棱两两垂直的四棱锥，不妨叫直角四棱锥。一个长方体可用平面截得三个直角四棱锥，反过来，也可以将直角四棱锥补成长方体，在长方体的背景下，有些关系会看的更清楚，问题更容易解决。 五、构造长方体模型解“有关直三棱柱的问题”。将直三棱柱补形成为长方体，往往便于平移转化，能使分散的条件集中，因而有时是十分方便的。 六、构造长方体模型解“有关球的问题”。与球有关的问题，较难画出直观图，思维难度大，构造长方体，化抽象为直观，借助合情推理，可以出奇制胜。 分析：因为三条侧棱PA、 PB、 PC两两垂直，则可看作一个长方体从同一个顶点出发的三条棱组成的三棱锥，其三棱锥外接球和长方体的外接球相同。因此外接球直径就是长方体的体对角线，体对角线的平方为三条棱的平方和，从而问题得到解决。