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动态超单元 有限元的基本概念 有限元 - 连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。单元中的基本物理量 (结构分析 - 位移；热分析 - 温度；电磁分析 - 电位势，磁通量；流体分析 - 流量，等) 用单元节点处的值表示，如： {u} = [P] {ue} 其中： {u} - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数： {u} = {u (x,y,z)} [P] - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关 {ue} - 单元节点的物理量值；对于结构分析可以是位 移、转角或其对坐标的导数。 常用大型分析软件中基本上是位移+转角。 有限元的基本概念 (续) 结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在单元坐标系中) 杆元：单元形状为线段，拉伸和扭转，在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 梁元：单元形状为线段，拉伸、扭转，以及两个垂直于轴 线方向的弯曲，在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 板壳元：三角形或四边形，两个面内位移，法向位移及两 个转角 (一般缺少绕法线转角)，在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 实体：四面体～六面体，三个方向的位移，无转角。在总 体坐标系中： 三个位移 (T1,T2,T3) 有限元的基本概念 (续) 有限元的基本概念 (续) 单元形状函数举例 (未必是实际使用的单元)： (1) 一维单元 a. 杆单元 轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为 Tx，Rx 对 2 节点单元 (线性单元)： Tx = a0 + a1 * x Rx = b0 + b1 * x 各有 2 个未知数，可以由 2 个节点的位移值确定； 对 3 节点单元 (二次单元)： Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2 Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2 各有 3 个未知数，可以由 3 个节点的位移值确定； 有限元的基本概念 (续) b. 梁单元 拉伸和扭转与杆相同，对于弯曲变形 (以单元坐标系 y 向为例)，2 节点单元相应的形状函数为： Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 由两个节点的 Ty,Rz 可以确定四个未知数； 3 节点单元： Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5 由 3 个节点的 Ty,Rz 可以确定 6 个未知数； 有限元的基本概念 (续) (2) 二维单元 a. 平面单元 (平面问题，轴对称问题) ，以 Tx 为例 三节点三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y 三个未知数可以由三个节点的 Tx 表示； 6 节点三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 6 个未知数可以由 6 个节点的 Tx 表示； 4 节点四边形元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy 4 个未知数可以由 4 个节点的 Tx 表示； 8 节点四边元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3) 8 个未知数可以由 8 个节点的 Tx 表示； 有限元的基本概