三次函数的几何性质.pdfVIP

第26卷 第3期 文山学院学报 VoI．26 No．3 2013年 6月 J0URNALOFWENSHANUNⅣERSⅡ．Y Jun．2o13 三次函数的几何性质 玉邴图 (广南县第一中学，云南广南663300) 摘要：新高中数学课程标准设置导数以后，中学数学报刊论述三次函数代数性质的文章多不胜数，而论 述三次函数几何性质的却寥寥无几。为此，文章从几何角度对三次函数进行研究，得到三次函数极值点的一 组几何性质，它对解答或编拟三次函数的创新题 目具有广泛的应用。 关键词：三次函数；几何性质；应用 中图分类号：0122 文献标识码：A 文章编号：1674—9200(2013)03—0034—03 定理1三次函数f()=ax％bx2+cx+d(口≠0，A_-4b2_12ac0)两个极值点连线的斜率 一÷ 。 证明：设两个极值点为P (，，Y，)，Q (x2，Y2)，则k=- (1) 因为f’()=3ax2+2bx+c，令f’()=0得方程3ax2+2bx+c：0 (2) 要使三次函数有两个极值点，则方程 (2)须有两个不相等的实数根，IlPA-_4b2—12ac0。由导数与函 数极值的关系知xI，x2是方程 (2)的两个根，Yl=aXl+6x12+CXl+ ，y2=ax2％bx22+cx2+d，(此段内容，以下同， 不再论述)．由 (1)得 =口(l )-口l+6(l+X2)+c (3) 将方程 ()的两根之和与积代X人1--(X2)得 1 将方程 ()的两根之和与积代人 ()得k=-- 一 =一 。 2 3 (44bb一12ac)=一 。 ll88口口 l8口 一 一 定理2 三次函数厂() (口≠0，△ 一l2 0)导数的两个零点之差的绝对值 = 。 证明：由题意和方程 (2)得两个零点之差的绝对值 √ =。一：=I√丽 =√ = 定理3 三次函数f()--ax％bx％cx+d(a≠0，△_-4b2—12ac 证明：由定理2及应用方程 (2)根与系数的关系得 d=IYl—Y2I=la(x一23)+b(x一；)+c(l--X2)I = IXl—2la(x+lX2+；)+b(xl+2)+c = l口【 )2--XlX2】+6 )+c 。 定理4 三次函数 (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0，A=4b一12ac0)两个极值点间的距离 A 2 + 324a2) (A ~ — — — — — 一 ： — — — 54a 。 证明：由弦长公式和定理 1，2得