必修五 解三角形 讲义.docVIP

人教版数学必修第章重难点解析【重点】【点】正弦定理、余弦定理【】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即== =2R（R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即　　c=， c= ， c=． ∴== 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC= 两边同除以即得：== 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴ 同理 =2R，＝2R 正弦定理的应用1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时: ⑵若A为直角或钝角时:2倍．即： 若用三边表示角，余弦定理可以写为 余弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 注意： 在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0．则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角． 3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系 在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是 c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2． 说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例． 4、三角形的有关定理： 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos=sin, sin=cos 面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB S= pr = (其中p=, r为内切圆半径) 射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 5、求解三角形应用题的一般步骤： （1）、分析题意，弄清已知和所求； （2）、根据提意，画出示意图； （3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； （4）、正确运用正、余弦定理。 【】例1 已知在 解： ∴ 由得 由得 例2 在 解：∵ ∴ 例3 解： ， 例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD内，利用正弦定理得： 在△BCD内，利用正弦定理得： ∵BD是B的平分线. ∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC. ∵∠ADB＋∠BDC＝180° ∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC ∴ ∴ 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用. 例a=,b=,B=45°，求A,C及边c． 解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°90°且ba, 所以有两解A=60°或A=120° (1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=, (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c= 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论． 例ABC中，若，判断△ABC的形状。 解一：由正弦定理： ∴2A = 2B 或 2A = 180( ( 2B 即：A= B 或 A + B = 90(∴△ABC为等腰或直角三角形 解二： 由题设： 化简：b2(a2 + c2 ( b2) = a2(b2 + c2 ( a2) ∴(a2 (b2)(a2 + b2 ( c2)=0 ∴a = b或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形． 思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手． 例b=1, 求证：1a+c≤2. 解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= [sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30)，因为0°A120°，所以30°A+30°150°,故12sin(A+30°)≤2. 法二．∵B=60°,b=1，∴a2+c2-b2=2accos60°, ∴a2+c2-1=ac, ∴a2+c2-ac=1, ∴(a+c) 2