对策论_运筹学.docVIP

习题解答 已知矩阵博弈局中人I的赢得矩阵如下，求最优纯策略及博弈值。 （1） （2） 解: (1) 所以,V=5 (2) 所以 ,,,,V=-2 2． 甲乙两国进行乒乓球团体赛，每国由三个人组成一个队参加比赛。甲国的人员根据不同的组合可组成4个队，乙国的人员可组成3个队，根据以往的比赛记录，已知各种组成队法相遇后甲国的得分如下表所示 甲 乙 1队 2队 3队 1队 -5 1 -7 2队 3 2 4 3队 8 -1 -8 4队 -2 -1 6 问双方应各派哪个队上场是最优决策? 解: 所以,V=2 答: 双方应均派第2队出场 对任意一个m行n列的实数矩阵A=（aij）,试证有下式成立 证: 某城区有A、B、C三个居民小区，分别居住着40％，30%，30%的居民，有两个公司甲和乙都计划在区内建造超市，公司甲计划建两个，公司乙计划建一个，每个公司都知道，如果在某个小区内设有两个超市，那么这两个超市将平分该区的消费，如果在某个小区只有一个超市，则该超市将独揽这个小区的消费。如果在一个小区没有超市，则该小区的消费将平分给三个超市。每个公司都想使自己的营业额尽可能地多．试把这个问题表示成一个矩阵博弈，写出公司甲的赢得矩阵，井求两个公司的最优策略以及各占有多大的市场份额。 解: 甲公司的策略集为{(A,B), (A,C), (B,C)} 乙公司的策略集为{A,B,C} 甲的赢得矩阵为: 所以甲选(A,B)或(A,C),占70%份额。乙选A,占30%份额. 5． 一个病人的症状说明他可能患a，b，c三种病中的一种，有两种药C，D可用，这两种药对这三种病的治愈率为 病 药 a b c C 0.5 0.4 0.6 D 0.7 0.1 0.8 问医生应开哪一种药才能最稳妥? 解: 最优策略为 答:应开C药较为稳妥. 设矩阵博弈局中人I的赢得为 A= (1) 当局中人I采用策略x=(0.2，0.5，0.3)时，Ⅱ应采用什么策略? (2) 当局中人Ⅱ采用策略y=(5/7，2/7)时，I应采用什么策略? x和y是否是最优策略?为什么?若是，试给出另一个局中人的最优策略和博弈值。 解: (1)设II的策略为Y=(y1,y2),则 得:y1=0,y2=1,V1=-0.3,所以最优解为(0,1),V=-0.3 (2) 设II的策略为X=(x1,x2,x3),则 所以,即I的最优策略为 (3) 对于(x1,x2,x3)=(0.2,0.5,0.3),因为 所以(0.2,0.5,0.3)不是最优解. 对于(y1,y2)=(5/7,2/7),因为满足: 所以(5/7,2/7)是II的最优解,对应I的最优策略为(0,2/7,5/7),V=4/7 7.给定矩阵博弈局中人I的赢得为 A= 试验证x*=(1/2，1/2，0)和y*=(1/4，0，3/4)分别是局中人I和Ⅱ的最优混合策略，井求博弈值。 解:可验证满足: (1)若 (2)若 (3)若 (4)若 且V=2 已知矩阵博弈的赢得矩阵如下，试用线性方程组法求最优混合策略及博弈值。 （1） （2） 解: (1)将矩阵中各元素减2得: 2= 解得: X*=(6/13,3/13,4/13),Y*=(4/13,3/13,6/13),V=50/13 (2) 解得: X*=(1/3,1/3,1/3),Y*=(1/3,1/3,1/3),V=1 9．用简便方法（降阶或化零元）求给定矩阵博弈的解与值，赢得矩阵如下 （1） （2） 解: (1) 用优超法简化矩阵得: 解方程组得: X*=(0,3/5,0,2/5),Y*=(0,0,2/5,3/5),V=6/5 (2) 用优超法则简化矩阵得: 各元素减7得: 则 解方程组得: 所以得X*=(0,0,3/7,4/7,0),Y*=(0,0,0,4/7,3/7),V=37/7 10．用线性规划求下述矩阵博弈的混合策略解及博弈值，已知其赢得矩阵为 （1） （2） 解: (1) 线性规划: 解得: X*=(1/3,0,2/3),Y*=(1/3,1/3,1/3),V=4/3 (2) 矩阵各元素加2得: A+2= 线性规划为: 解得: X*=(0,0,1),Y*=(2/5,3/5,0),V=4-2=2 甲、乙两方交战。乙方用三个师守城，有两条公路通入该城，甲方用两个