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例举数学探究活动的实施与思考 兴化市戴南高级中学 翟爱国 225721 数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中.高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动. 数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜想、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明. 数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力. 回想起自己工作的这几年，课程表上按排的数学研学课或用来评讲学生作业、试卷，或用来调整自己的教学进度，偶尔开展也是草草了事，并没有真正意义上的“名符其实”.一方面自已对数学研学课上开展数学探究的认识不够，另一方面缺少实践和理论的指导.下面是笔者组织学生进行数学探究活动的有关教学案例，并谈一谈如何开展数学探究性课题学习以及对数学探究性课题学习实施的思考. 一、数学探究性课题学习方式下的案例 1.在数学探究性课题学习中夯实基础 案例一 《普通高中课程标准实验教科书》数学必修2，P.100 感受·理解第9题：求圆关于直线对称的圆的方程. 学生甲 解 已知圆的标准方程为其圆心关于直线的对称点，故所求对称圆的方程为 学生乙 解 设所求圆上任一点的坐标为该点关于直线的对称点为所以解得 又因为 ， 所以，即 学生丙 解 因为圆心到直线的距离，直线与圆相交.所以所求圆的方程为即 教师：学生甲所用的解法是“对称”法：根据两圆成中心对称或成轴对称的 特征求圆的方程，抓住圆心对称即可，得到的是圆的标准方程.学生乙所用的解法是化归思想，化归思想也叫代入法，是求曲线方程常用的一种解法，得到的是圆的一般方程. （学生丙很困惑，他得到的圆的方程与前两位同学的结果都不一样） 教师：（追问学生丙）请说说你的解题思路…… 学生：我们之前学习过怎样求两相交圆公共弦所在的直线方程.已知⊙⊙若⊙与⊙相交时，两圆的公共弦所在直线方程为我认为既然该题所求圆与已知圆相交且又已知公共弦所在的直线方程，故把刚才的结论反过来用就能得到本题所求圆的方程化简得 （小组活动，教师走近学生中间，做适当指导） 教师：我想和同学们一起来探究两个问题：①学生丙用这种方法求得的方程是圆的方程吗？②若是圆，该圆与已知圆有什么关系？（略……） 师生探究出结论：过直线与圆交点的圆系方程为 （该结论是高中阶段老师都补充给学生的一个结论. 古人云“授之以鱼，不如授之以渔”.案例一通过学生对一道课本习题的多解，师生碰到了错误解答，启发学生，开展探究性活动得出正确结论.希望学生今后学习老师补充的一些结论，要知自然，更要知其所以然，从而更好的激发学生自已学习数学的兴趣，达到在数学探究性课题学习中夯实基础的效果. 2.在数学探究性课题学习中训练思维、提升能力 案例二 《普通高中课程标准实验教科书》数学必修②P.106.习题8： 已知圆，直线.（1）当点在圆上时，直线和圆具有怎样的位置关系？（2）当点在圆外时，直线具有什么特点？ 教师：当点在圆外时，直线的真实身份究竟是什么呢？（回忆高二新授课学习后学生已经知道的结论，探究活动始于学生“现有发展区”） 学生：当点在圆外时，过点向圆可作两条切线、，切点为、.直线的真实身份就是经过两个切点、的直线，我们把线段叫做圆的切点弦. 教师：当点在圆外移动时，的大小也变化.的大小与点离圆心的远近有关：点离越远，越小；点离越近，越大.若时，点的位置会有什么特别吗？（学生很积极、主动在思考.我觉得有必要引导学生对该问题作进一步的探究） 教师：我们先来求一个与圆有关的轨迹问题. 已知圆（），动点在圆外，过点作圆的两条切线、，切点为、.若，求动点的轨迹. 学生：连接、、，由题意可得，，因为，所以四边形是正方形，，，动点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆. 教师：很好！先找出几何关系，再用代数关系表示，过程简洁，得到的轨迹是圆.（学生2一脸的高兴） 教师：圆是一个封闭曲线，我们学习过的圆锥曲线中的椭圆也是一个封闭曲线.通过以上探究，大家能不能把圆类比到椭圆，会出现什么结果？ 已知椭圆：，动点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线、，切点为、.若，求动点的轨迹. 学生：轨迹也是圆.（抢先说出，直觉很敏锐） 教师：为什么？ 学生：猜的.（教室内一阵哄笑，课堂上我需要这种“美丽”的声音） 学生：（一会儿学生变得沉默，教室内很安静，大都学生还