反常积分与gama函数.pptVIP

2.瑕积分定义 * * 6-5 反常积分与?函数 复习 定积分的几何意义： 由一条连续曲线 表示 和三条直线 x=a, x=b, y=0 所围成的曲边梯形的面积 a b x y o 定积分 有 : 2.被积函数 是有界函数. 1.积分区间 是有限区间, 一、无穷限上的反常积分 二、无界函数的反常积分 三、 ? 函数 第五节 反常积分与?函数 第六章 引例：求由曲线y=1/x2 ，直线x=1和y=0围成图形的面积. x y o 1 x y o 1 t 一、无穷区间上的反常积分 因 定义： 设 在 内连续， 取 如果极限 存在， 则此极限叫函数 在无穷区 间 内的反常积分. 记作 即 此时也称反常积分收敛. 否则称反常积分发散. 注意： 反常积分发散时， 仍用记号 表示. 但只是形式上写出，不表数值. 一、无穷区间上的反常积分 解 由定义知： 显然 不存在. 故 发散. 例1 计算反常积分 注意: 为了简便起见, 另解 记 解 若 原式 例2 计算反常积分 证 例3 证明反常积分 当p1时收敛， 当 发散. 故当p1时， 该反常积分收敛于 当 时， 该反常积分发散. 设 在 内连续， 取 如果极限 存在， 则此极限称为函数 在无穷区 间 内的反常积分. 记作 即 此时称反常积分 否则称反常积分发散. 定义2 设 在 内连续， 如果 都收敛， 则称两反常积分之和为 在无穷 区间 上的反常积分. 记作 即 此时也称反常积分 否则称反常积分发散. 定义3 一般地： 若 是 的原函数， 则 计算方法： 例4 计算 解 解 因为 不存在， 所以反常积分 发散. 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例5 讨论反常积分 的敛散性. 二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分). y x o 1 1 y x o 1 1 引例：求由曲线 ，及x=0、 x=1和y=0围成图形的面积. 解：取充分小 因 二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分). 例子 或 或 设 在 上连续， 而 如果极限 存在， 则称此极限值叫 在 上的反常积分. 记作 即有 (又叫瑕积分). 此时称反常积分收敛. 若该极限不存在， 称其发散. (这时称a是瑕点)， 类似地定义： 在 处为瑕点，则 反常积分 另有： 若 是瑕点时， 注意： 与 同时收敛. 才收敛. 否则， 发散. 2.计算方法： 若 是 的原函数， 当a为瑕点时， 其中 当b为瑕点时， 其中 解 故所给反常积分是收敛的. 例6 讨论反常积分 的敛散性. 所以x=a是被积函数的无穷间断点. 例7 讨论反常积分 的敛散性. 解 在 上除 外连续， 且 是 的瑕点. 则 由于 所以 发散， 因而 发散. 证 因此当q1时反常积分收敛， 其值为 当 时反常积分发散. 例8 证明反常积分 当q1时收敛， 当 发散. 小结 设有反常积分 其中f(x)在(a,b)内连续， a可以是 b可以是 a 、b也可以是无穷 间断点. 对这样的积分，可以象定积分一样作换元 . 解 例9 求反常积分 令 则 再令 于是 三、 ?函数 定义： 广义积分 是参变量α的函数, 称为?函数． ?函数具有如下递推公式： ?(α+1) = α?(α ) (t＞0) . 特别地,当α=n为正整数时,有 ?(n+1) = n! ?函数的重要性质： ?(α+1)=α?(α) 特别, ?(n+1)=n！ 证明： 例10：利用?函数计算下列反常积分. 解: (1) (2) 例10：利用?函数计算下列反常积分. 解: (2) 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 定积分的极限 2. 两个重要的反常积分 小结