线性代数第三节行列式性质.docVIP

第三节 行列式的性质 分布图示 引言 性质1 ★ 例1 ★ 性质2 ★ 例2 ★ 例3 ★ 性质3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 性质4 ★ 例7 ★ 例8 性质5 ★ 例9 ★ 利用“三角化”计算行列式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 内容要点 一、行列式的性质 将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若 则 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数乘行列式的某一行(列), 等于用数乘此行列式, 即 第行(列)乘以,记为(或). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, . 则 . 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数乘第行加到第行上,记作; 以数乘第列加到第列上，记作. 二、行列式的计算 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是: 如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0; 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值. 例题选讲 例1若, 则 例2（1）（第一、二行互换）. （2）（第二、三列互换） （3）（第一、二两行相等） （4）（第二、三列相等） 例3（1）因为第三行是第一行的倍. （2）因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍. 例4 若, 则 又 . 例5 (E01) 设 求 解 利用行列式性质，有 例6 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式 其中 利用行列式性质1及性质3的推论1, 有 当为奇数时有即 例7（1） （2）. 例8 因为而. 因此. 注: 一般来说下式是不成立的 . 例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变. （2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变. 例10计算行列式. 解 先将第一行的公因子3提出来： 再计算 例11 (E02) 计算 解 例12 (E03) 计算 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式. 例13 (E04) 计算 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多. 例14 (E05) 计算 解 从第4行开始，后一行减前一行： 例15 设， 证明 证 对作运算对作运算可分别把和化为下三角形行列式. 对的前行作与对相同的运算再对后列作与对相同的运算即把 化为下三角形行列式，且 证毕. 例16 (E06) 解方程 解 从第二行开始每一行都减去第一行得 由解得方程的个根： 课堂练习 1. 计算行列式 2. 计算n阶行列式