秩次非参数检验.docVIP

第七章 基于秩次的非参数检验 前言： 1. 问题的提出： 前面学习了连续型资料两组样本均数差异的假设检验方法： ★小样本用t检验，条件是变量服从正态分布和方差齐。 ★大样本用Z检验（中心极限定理）。 如果是小样本，变量的分布不清、已知不服从正态分布或经数学转换后仍不服从正态分布时，如何检验两个样本或多个样本均数差异的统计学意义呢？ ★需要一种不依赖于分布假定的检验方法，即非参数检验。 2. 基本概念： 前面介绍的检验方法首先假定变量服从特定的已知分布（如正态分布），然后对分布的参数（如均数）作检验。这类检验方法称为参数检验。 今天介绍的检验方法不对变量的分布作严格假定，检验不针对特定的参数，而是模糊地对变量分布的中心位置或分布形态作检验。这类检验称非参数检验，由于其对总体分布不作严格假定，所以又称任意分布检验。 (1)非参数检验的优点：a. 不受总体分布的限制，适用范围广。 b. 适宜定量模糊的变量和等级变量。 c. 方法简便易学。 (2)缺点：对于适合用参数检验的资料，如用非参数检验会造成信息的丢失，犯第Ⅱ类错误的概率增大，造成检验功效下降。 (3)基于秩次的非参数检验(秩和检验)的基本思想： 例：假设有一组观察值为1.1, 1.3, 1.7, 4.3, 11.4 。 显然这一变量不服从正态分布，观察值间差异较大，既不对称，标准差也较大。 如果将变量作转换，变成秩变量Y=1，2，3，4，5，则分布对称了，观察值间的差异也均匀了，标准差也减小了。 对秩和分布的中心位置(平均秩和)作检验，这就是秩和检验。 一．配对样本的符号秩检验（Wilcoxon signed rank test）： 例7.1：研究出生先后的孪生兄弟智力是否存在差异？ 表7.3 12对孪生兄弟智力测试结果 对子号 兄的得分 弟的得分 兄弟得分差 秩次 1 86 88 2 3 2 71 77 6 7 3 77 76 -1 -1.5 4 68 64 -4 -4 5 91 96 5 5.5 6 72 72 0 - 7 77 65 -12 -10 8 91 90 -1 -1.5 9 70 65 -5 -5.5 10 71 80 9 9 11 88 81 -7 -8 12 87 72 -15 -11 差值一般在5左右，但个别较大，如15，可能不服从正态分布。而且样本较小，不能利用中心极限定理作正态假定。因此考虑使用非参数检验---符号秩检验。 1．符号秩检验的分布理论：假定有四对观察值，如果H0成立时，这四个值有同等的概率取正值或负值，即每个值取正值的概率等于二分之一。四个值共有24=16种组合，每种组合发生的可能性就是：。再考虑秩和，可能的结果数减少到11种，概率分布见表7.1。 表7.1 n＝4时所有可能秩和情况和T*的分布 正差数 的秩次 负差值 的秩次 正秩和 T+ 负秩和 T- 概率 P 1,2,3,4 -- 10 0 0.0625 2,3,4 1 9 1 0.0625 1,3,4 2 8 2 0.0625 1,2,4 3 7 3 0.1250 3,4 1,2 7 3 1,2,3 4 6 4 0.1250 2,4 1,3 6 4 1,4 2,3 5 5 0.1250 2,3 1,4 5 5 1,3 2,4 4 6 0.1250 4 1,2,3 4 6 1,2 3,4 3 7 0.1250 3 1,2,4 3 7 2 1,3,4 2 8 0.0625 1 2,3,4 1 9 0.0625 - 1,2,3,4 0 10 0.0625 如果零假设成立，观察的结果应该服从此分布，即出现极端的可能性很小。如果真是出现小概率，那么我们对零假设的真实性产生怀疑，拒绝零假设。 2．具体计算步骤： （1）检验假设： H0：差值的总体中位数为零。Md=0 H1：差值的总体中位数不等于零。Md≠0 α=0.05。 （2）编秩和计算秩和： 求差值，差值的绝对值由小到大编秩，●差数为零不参加编秩，相同差值求平均秩。分别求正号和负号的秩和，取绝对值小的为T。 （3）确定概率，下结论：查附表10，在n=11时，T0.05=11。现T=24.511，故P0.05，按α=0.05的水准，不拒绝H0。 （★T小，P小）。 3．正态近似：当研究例数较大时(n50)，秩和T的分布近似正态分布，可以用正态分布理论作假设检验： 这时正态分布的均数和标准差分别等于： 检验的公式为： 二．两独立样本的秩和检验(Wilcoxon rank sum test)： 表7.5 缺氧条件下猫与兔的生存时间(分)比较 猫 兔 生存时间 秩次 生存时间 秩次 生存时间 秩次 生存时间 秩次 25 9.5