线性方程组数值解.docVIP

实验三 线性代数方程的数值解法 （化11孙皓2011011779） 【实验要求及目的】 1、 学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析； 2、 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的问题。 第一题 【问题描述】 通过求解线性方程组A1x=b1和A2x=b2，理解条件数的意义和方程组的性质对解的影响。其中A1是n阶范特蒙矩阵，即 A1=1a0a02⋯a0n-11a1a12⋯a1n-11a2a22⋯a2n-1⋮⋮⋮⋮1an-1an-12⋯an-1n-1，ak=1+0.1k，k=0,1,⋯n-1 A2是n阶希尔伯特矩阵，b1，b2分别是A1，A2的行和。 （1）、编程构造A1，A2和b1，b2。令n=5，用左除求解线性方程。 （2）、令n=5，7，9，…，计算A1和A2的条件数。为观察它们是否病态，做以下实验：b1，b2不变，A1和A2的元素A1n，n，A2n，n分别加扰动ε后求解；A1和A2不变，b1，b2的分量b1n，b2n分别加扰动ε后求解。分析A和b的微小扰动对解的影响。Ε取10-10，10-8，10-6。 （3）、经扰动得到的解记作x，计算误差x-xx，与用条件数估计的误差相比较。 【原理分析】 矩阵A的条件数condA=A∙A-1，条件数的大小衡量了扰动对解的影响，解的相对变化不大于扰动的相对大小的condA倍。 为了衡量一个矩阵或者向量的大小，对矩阵的变化进行量化分析，需要用到范数。 对于向量x=x1，⋯xnT，范数记作x. 2-范数x2=x12+⋯+xn21/2；1-范数x1=x1+⋯+xn； ∞-范数x∞=maxx1，⋯，x2； 对于矩阵A=aijn×n，范数记作A. 2-范数A2=λmaxATA，其中λmax表示最大特征根 1-范数A1=maxji=1naij；∞-范数A∞=maxij=1naij； 本题中使用2-范数。 【问题求解】 （1）、构造矩阵： A1为 1 1 1 1 1 1 1.1 1.21 1.331 1.4641 1 1.2 1.44 1.728 2.0736 1 1.3 1.69 2.197 2.8561 1 1.4 1.96 2.744 3.8416 A2为 1 0.5 0.333333 0.25 0.2 0.5 0.333333 0.25 0.2 0.166667 0.333333 0.25 0.2 0.166667 0.142857 0.25 0.2 0.166667 0.142857 0.125 0.2 0.166667 0.142857 0.125 0.111111 线性方程组的解为： x1 1 1 1 1 1 x2 1 1 1 1 1 （2）、不同n值情况下，A1，A2的条件数如下表： n cond(A1,1) cond(A1,2) cond(A1,inf) cond(A2,1) cond(A2,2) cond(A2,inf) 5 651203.8 357402.4 627547.7 943656 476607.3 943656 7 1.85E+081.66E+08 9.85E+08 4.75E+08 9.85E+08 9 5.06E+10 2.27E+10 4.48E+10 1.1E+12 4.93E+11 1.1E+12 11 1.46E+13 6.52E+12 1.28E+13 1.23E+15 5.23E+14 1.23E+15 进行试验如下： 1、n=5时，不同方程在不同的扰动下的解如下表： x1 扰动在A x1 扰动在b ε=0 ε=10^(-10) ε=10^(-8) ε=10^(-6) ε=0 ε=10^(-10) ε=10^(-8) ε=10^(-6) 1 1 1.000007 1.000715 1 1 1.000007 1.000715 1 1 0.999975 0.997488 1 1 0.999975 0.997489 1 1 1.000033 1.003297 1 1 1.000033 1.003296 1 1 0.999981 0.998083 1 1 0.999981 0.998083 1 1 1.000004 1.000417 1 1 1.000004 1.000417 x2 扰动在A x2 扰动在b ε=0 ε=10^(-10) ε=10^(-8) ε=10^(-6) ε=0 ε=10^(-10) ε=10^(-8) ε=10^(-6) 1 1 1.000006 1.000659 1 1 1.000006 1.00063 1 0.999999 0.999874 0.986819 1 0.999999 0.999874 0.9874 1 1.000006 1.00