积分不等式证明.docVIP

积分不等式的证明 一、证明常用的性质 性质1 函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和 其中都是常数。 性质2 如果在区间 上,则。 性质3 如果在区间上，则。 性质4 如果在区间 上有则 性质5 性质6（估值定理） 如果和分别是在区间上的最大值和最小值，则有。 性质7 如果函数在区间上可积，是内的一点,则函数在及上也可积，并且。 性质7 的证明： 对于的任意划分，在插入一个分点，得到一种新的分划。在这些心的分划中，点永远是一个分点，因而有 令，上式两端同时取极限，就得到。 积分中值公式 如果函数在闭区间 上连续，则在积分区间 上至少存在点，使得。 证明: 因为在闭区间 上连续，故在 上可积，且有最大值及最小值，即于是，由定积分的估值定理，有 注意,将上面各式除以,得 可见确定的数值介于连续函数在闭区间 上最大值与最小值之间。根据闭区间上连续函数的介值定理，在 上至少存在一点，使得，即 亦即 这个公式叫做积分中值公式（积分第一中值定理），叫做函数在区间上积分平均值。 性质8 若都在上可积，则在 上也可积。 性质9 特别的。 性质10 （积分第二中值定理）：若是 上单调函数，为可积函数，则，使得。 性质11 (柯西不等式)牛顿—莱布尼兹公式（重要公式） 若函数在 上连续，为的一个原函数， 即,且 变限积分 设在上可积，对于任给,在 和 上均可积，分别称和为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分。若在上连续，则其变限积分作为关于的函数，在 上处处可导，且 更一般的有 二、积分不等式的证明 例1．设在上有一阶连续导数，且，证明： (1) (2) 分析：(1)该不等式实际上给出了左边积分的一个界。若令，则有，即给出了导数的界，再加条件，估计出，进而估计出积分的界。 (2)不等式两边分别有和，而等式可将两者联系起来，这里要根据具体问题具体选择，本题中容易想到。 证明：(1)令，由积分中值定理知 从而　 所以　 (2) ，则 故 例2．比较定积分与的大小。 解：(用性质3) 设,我们只需判别在的正负号， 因 ，,故。 所以。 例3.设函数定义在区间 上，且对于区间 上任意二点，，有。证明， 对于内每一点，是连续函数； 如果在上可积，则。 证明：（1）任给,由题设知 于是当时，，故连续。 (2)当时，有，即 。 两边积分，可得 即 故有。 例4．设在上有二阶连续导数，，证明： 方法1：由泰勒公式有 两边在上积分并注意到得 ， 从而得 方法2：令，则且 （牛顿-莱布尼兹公式）， 由泰勒公式有： （1）） 所以 例5.设为上的非负单调非增连续函数（即当时，） 证明:对于,有下面的不等式成立。 证法1：（用积分中值定理） 由题设及中值定理有 从而 因此可得 又因,所以,故。 证法2：（用性质3） 分析：可化为 将换成，于是辅助函数 令 (因为单调递减) 所以单增，又因为 所以 。即 故。 例6.设，函数在上连续可微， 证明：。 证法1： 因为在上连续可微 所以积分存在，且 因为 所以。 证法2：因为连续，由积分中值定理，存在，使得 又因为 所以 例7.设为上的连续递增函数，则不等式成立： （1） 证明：（用性质10） 要证（1）式只要证明 （2） 由于单调递增，利用积分第二中值定理（性质10），则存在，使 故（2）成立，原不等式成立。 例8．柯西不等式的证明。 证明:柯西不等式为。 设 显然在上连续，在内可导，且 所以在上单调减少，则，即 得到结论。 例9.设的一阶导数在上连续，且 ，求证： 证明：由于 因此有积分中值定理及基本积分不等式，有 而, 所以。 例10．函数在上有定义且单调不减，证明：对于任何，有 。 证明：(分析:用换上限法) 由,对，有.又由于在上单调不减，有 ，从而 例11.设是的连续函数，而且是非负和下凸的， 求证：。 证明：令，则 ， 由于下凸的，故。 所以，在上单调增加，从而即 ，其中， 特 别，当时，。 例12.设在上二阶可导，且，求证： 。 证明：令，则 ， 所以，。特别的有。即。 例13.求证：。 分析：只要证,利用三角函数之间的相互转换及定积分的性质证之。 证明：设，在中，令，则，即 ，故等式不成立。 例14