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章 节 第十二章 系统的状态变量分析1-2节 日期 教学目的 掌握用信号流图表示系统的方法；系统模拟 教学重点 用信号流图表示系统的方法 教学难点 用信号流图表示系统的方法 教学方法 讲授 教学内容 12.1 系统的信号流图表示 这部分内容为本书第十一章第六节。用信号流图表示的系统模型简明清楚，系统函数计算过程简单。在反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面得到广泛应用。此外，借助信号流图研究系统状态空间分析也显示了许多优点。 （一）概述 利用方框图组合分析线性系统的方法可使求解过程简化。在绪论部分已经利用一些基本运算单元，包括相加、倍乘和积分构成连续系统的模型，这种方法也成为线性系统的仿真（simulation，也成为模拟）。当系统复杂时就需要用多个方框图来表示，为简化方框图，可采用一种简单的方法，即系统的信号流图。 用一条有方向的线段代替子系统方框，线段的两端点（节点）表示该子系统的输入、输出信号，箭头的指向是信号的传输方向，而将系统函数直接写在箭头旁边，加法符号用节点代替，两条有向线段指向一点就表示相加，若是相减则将减号移至子系统的系统函数之前。这样构成的图形称为系统的信号流图，简称信流图。如图12-1(a)所示反馈系统的方框图可以用图12-1(b)所示的信号流图来表示。 关于反馈系统的内容见P257。基本内容有： 1、反馈系统中正向通路、反馈通路、误差信号的概念； 2、反馈系统的系统函数； 3、正（再生）反馈与负（非再生）反馈概念； 4、开环系统与闭环系统； 5、引入反馈可以使不稳定系统变为稳定系统； 6*、利用反馈系统产生自激震荡以及利用根轨迹法分析系统。 （二）信号流图中的一些术语 1、结点：表示系统中变量或信号的点。 2、转移函数：两个节点之间的增益。 3、支路：连接两个节点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。 4、输入结点（源点）：只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。 5、输出结点（阱点）：只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。 6、混合结点：即有输入支路又有输出支路的结点。 7、通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。 8、开通路：通路与任意结点相交不多于一次。 9、闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它结点相交不多于一次，闭通路又称环路。 10、环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。 11、不接触环路：两环路之间没有任何公共节点。 12、前向通路：从输入节点（源点）到输出节点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。 13、前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。 [例12-1] 将图12-2(a)所示的方框图改画为信号流图的形式。 解：信号流图如图12-2(b)所示。 （三）信号流图的性质 在运用信号流图时必须遵循流图的以下性质： （1）支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。 （2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。 （3）具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传输的支路，可以把它变成只有输入的输出结点来处理。 （4）给定系统，信号流图形式并不是唯一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。 （四）信号流图的代数运算 信号流图可以按一定的代数运算规则进行简化，常用的规则有： （1）只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。 （2）串联支路的总增益，等于所有各支路增益的乘积，因而串联支路可以简化合并为单一支路。 （3）通过并联相加可以把并联支路合并为单一支路。 （4）混合结点可以按图12-3(a)方式消掉。 （5）环路可以按图12-3(b)方式消掉。 利用这些信号流图的代数运算，就可以把一个复杂的流图加以简化，使之只剩下一个源点和一个阱点，从而确定系统的转移函数。 （五）信号流图的梅森增益公式 利用梅森增益公式可以根据流图方便的求得输入与输出间的转移函数。梅森公式的形式为： 式中 ——称为流图的特征行列式。 (所有不同环路的增益之和)(每两个互不接触环路增益乘积之和)每三个互不接触环路增益乘积之和) ——表示由源点到阱点之间第条前向通路的标号。 ——表示由源点到阱点之间第条前向通路的增益。 ——称为对于第条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与第条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。 [例12-2] 用梅森公式求图12-2(b)所示系统的转移函数。 解：为求流图的特征行列式，先求环路： 其中，两两不接触环路为和，因此： 前向通路只有一条，所以： 按梅森公式，系统的转移函数为： [例12-3] 用梅森公式求图12-4所示系统的转移函数。 解：为了应