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第四讲 级 数 级数的概念及收敛级数的性质1）级数和的定义：对于级数，是其前项的和，我们定义。例1：设，求级数的和。解：因为 所以 。2）收敛级数的性质性质：（柯西收敛准则）如果级数收敛，是其前项的和，则对任意的正数有。例2：设是单调增加的正数数列，证明：级数与级数同敛散。证明：（1）因为，所以级数收敛则级数一定收敛；（2）又因为  由收敛级数的性质，如果级数收敛，则级数也收敛，由比较判别法级数收敛，因此级数收敛。例3：判别级数的敛散性。解：因为 所以级数发散。 常数项级数1）正项级数敛散判别法：比较判别法、比之判别法、根式判别法。定理1：（拉贝判别法）对于正项级数，如果，则当 （1）时，正项级数收敛； （2）时，正项级数发散； （3）时，不能确定正项级数的敛散性。证明：我们证明2）如果取使得，由极限的定义，存在自然数，当时，有   因为发散，由比较判别法，可得级数发散。例4：判别正项级数的敛散性。解：利用拉贝判别法，因为 所以正项级数发散。下面是以上极限的算法用替换，则时，   所以 2）一般项级数审敛法：莱布尼茨判别法、条件收敛和绝对收敛。例5：判别下列级数的敛散性 （1） （2）解：（1）因为而级数都收敛所以收敛。（2）因为而级数收敛，级数发散所以发散。 函数项级数1）函数项级数的一般概念2）幂级数：收敛半径、收敛区间、收敛域、幂级数求和、函数展成幂级数。函数的麦克劳琳级数 注意运用好幂级数逐项求导、逐项积分的性质函数展成幂级数常用公式     3）傅立叶级数例6：设函数，求。解：因为所以例7：设 （1）证明：； （2）计算。解：（1）设，因为  所以在上恒为常数。又因为函数的傅立叶级数为  当时，可得，设，则有 .（2） 由（1）可得，即。例8：证明：。证明：利用泰勒公式其中在之间，当时， 取时，   当时，。例9：求幂级数的收敛域。解：因为，此幂级数收敛半径为。①当时，因为当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数发散；②当时，对于级数当时，级数绝对收敛，当时，级数发散，当时，因为，级数发散；由以上讨论可得，当时，级数收敛域为；当时，级数收敛域为。例10：设为整数，，证明方程在区间内至少有一个根。证明：因为，当时，所以 …… ……利用介值定理，方程在区间内至少有一个根。 练习题1）证明级数收敛并求其和。2）设是单调增加的正数列，证明：级数收敛的充分必要条件是有界。3）计算。4）求级数的和。5）证明：当且仅当存在常数，使得对所有大于某个的，都有 时，函数才是有理函数。 第6页（共8页）