离散时间系统时域分析报告.docVIP

第七章 离散时间系统的时域分析 学习目的 1.掌握离散时间信号的基本运算 2.掌握根据实际问题建立差分方程的方法 3.掌握差分方程的迭代解法和时域经典解法 4.会根据系统的差分方程画出系统的方框图 教学重点难点 掌握零输入响应和零状态响应的求解方法以及卷积和的计算 教学内容 §7.2 离散时间信号——序列 一．序列的基本概念 本书以表示序列，通常把对应某序号n的函数值称为第n点“样值”，仅对n的整数值才有意义，对于n的非整数值，没有意义。 离散时间信号的运算：两信号的相加，相乘，位移，反折，尺度倍乘，差分，累加等。 1．相加：，指两序列同序号的数值函数对应相加构成一个新序列。 2．相乘：，指两序列同序号的数值函数对应相乘构成一个新序列。 3．移位：， m0序列左移。 ， m0序列右移。 4．反折：，以n=0翻转。 5．尺度倍乘：当为正整数时， 构成波形压缩， 构成波形扩展。 !必须注意：尺度倍乘要按规律去除某些点或补足相应的零值。 前向差分：以表示， 后向差分：以表示， 累加： 序列的能量： 二．常用的典型信号 1．单位样值信号： 注意与区别 2．单位阶跃序列： 注意与的求别 3．矩形序列： 4．三种信号的关系： 5．斜变序列： 6．指数信号：，当时发散；当收敛。 7．正弦序列：，是正弦序列的频率，它反映序列值周期性重复的速率。 当为整数N，则信号周期为 ②当为有理数，则其周期为 ③若为无理数，则无周期。 例：求的周期 解：对于， 故其周期为4 对于，， 周期 对于，，（无理数） 故此序列无周期。 8．复指数序列： 信号的分解： §7.3 离散时间系统的数学模型 离散系统按性能可划分为线性，非线性，时不变，时变各类型的系统。 常用的是系统。 系统满足均匀性，叠加性；描述该系统的工具是常系数线性的差分方程。 对于离散系统，它的基本单元是延时器，乘法器，相加器。 延时单元用表示，，或用T，D表示。用 表相加，乘法用表示，， ，也可用表示。 下面以实例说明如何为一个离散时间系统建立差分方程 例：试写出描述此系统的差分方程。 ——一阶差分方程 若方程中还包括未知序列的移位项则可构成N阶差分方程，差分方程的阶数等于未知序列变量序号的最高值与最低值之差。差分方程中，各未知序列之序号自n以递减方式给出，称为后向差分方程。若以n递增方式给出，即等项组成，称为前向差分方程。对因果系统用后向差分方程描述比较方便，而在状态变量分析中，习惯用前向差分方程表示。 §7.4常系数线性差分方程的求解 常系数差分方程形式为，其求解方法有迭代法，时域经典法，零输入响应与零状态响应，变换域法。 ，， 由于迭代法不易写成封闭形式，一般不常用。 1．时域经典法：先求齐次解（自由响应）和特解（强迫响应），然后代人边界条件求待定系数。 差分方程的齐次解：一般差分方程形式如下。 ，将带入方程，将其代人方程中得： 称为差分方程的特征根。 在无主根的情况下，差分方程的齐次解为。 例： 求其齐次解 解：由上方程可直接得到 若特征根为重根则 例： 解：其特征方程为 故 特解的形式与激励函数形式有关，其求法是将设定的特解代人方程中，利用对比系数法求出待定系数。 例：求差分方程的特解。 解：将代人方程得 根据自由项形式，设并将其代入上方程得。 一般情况下：若差分方程右端出现形式，则设特解为；若出现形式，且不是差分方程的特征根，则设。 系统的零输入响应和零状态响应。 系统的全响应又可分为零输入响应和零状态响应 在零输入的条件下，差分方程等号右端为零，方程变为齐次方程，若特征根都是单根， 若系统的初始状态为零，此时方程仍为非齐次方程，其解仍由齐次解和特解两部分组成，若特征根都为单根。 以上分析与连续系统分析十分相似。 需要指出：差分方程的边界条件不一定由这一组数字给出，对于因果系统，常给定为边界条件，若激励信号在时接入系统，零状态是指都为零。 例：差分方程 （1）若边界条件，求系统的完全响应。 （2）若边界条件，求系统的完全响应。 解：时信号接入，系统处于零状态，可求，由特征方程求得齐次解为，而特解为 将特解代入方程得 ，代入， （2）先求零输入响应 零输入响应满足方程 将代入中得 再求零状态响应： 由 其零状态响应 由于零状态，故， 作为初始条件 也可先求然后代入中，求。 §7.5 离散时间系统的单位样值响应 单位样值响应：当以作为激励而产生的零状态响应。 例：已知，试求 解：当时，上方程变成 当时，上方程蜕变成 由 得 ， 将代入得 例2：已知求 解：方程齐次解为 当时，即 若激励只有时，则系统的样值响应为。 即 ，将代入中得 根据系统的线性和时不变性 离散系统因果充要条件为：或，系统稳定的充要条件是（为有限值） §7.