第二章曲面上高斯映照第三基本形高斯曲率几何意义.docVIP

第二章 曲面论 第十三节 曲面上的高斯映射 高斯曲率的几何意义 曲面的第三基本形式 　Gauss 映射 曲面的Gauss 映射（或称为球面表示） 是曲面上的点到单位球面上点的映射 ，具体叙述如下。 定义 在曲面, 的的任一点处, 作出单位法向量，并平行移动。，使它的始点与原点重合，那么, 的终点就落到以为球心的单位球面上, 从而得到一点 , 我们称从到的这一映射 为曲面的高斯映射。 是把整个曲面映射到单位球面上的，曲面在球面上的象是上的一个点集。 若已知曲面的方程为，那么, 在高斯映射下的球面象的方程为， 即 。 上式即为高斯映射的向量表示式。 例1 、求球面 的高斯映射下的球面象。 解 。 例2、 求正螺面的高斯映射下的球面象。 解 ， ， ， 。 曲面与球面象的关系 曲面的高斯映射不一定是上的点到单位球面上的点的一一映射。 例如 设是一柱面，其方程是， ，， 的球面象的方程为 ， 这是单位球面上一条曲线。 对于柱面上任意两点，， ， 它们的球面象都是点 所以曲面的高斯映射不一定是一一映射。 例如 若曲面是一平面, 其球面象是一个点。若曲面是一可展曲面，可证明它的球面象是一条曲线。 定理 如果曲面是一般的可展曲面，则的球面象是一条曲线。 证明 若是一可展曲面 ，它或者为柱面 ，或者为锥面， 或者为切线曲面 ，仅有这三种情况, 下面分别讨论。 定理2 如果曲面没有抛物点，则它上面每一点与其球面象是一一对应的。 证明 如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。 证 设给出的曲面 上的点与内的点一一对应， 其球面像上的点为, 由于,， 所以 ?当曲面 上没有抛物点时， , 则， 说明球面像上的点与区域内的点一一对应，因此曲面上的点与球面像上的点一一对应。 在一般情况下, 高斯映射不是等角映射（或称共形映射），当然更不是等距映射。 定理 当且仅当曲面是球面或者是极小曲面时，曲面的高斯映射是等角映射。 （本定理及其证明参看吴大任： 微分几何, 第6 版, 人民教育出版社，1961，210.） 高斯曲率的几何意义 曲面上的面积微元为 ， 曲面的球面象曲面上的面积微元为 ， 由于 是曲面上的法向量， 是上的法向量， 因为对应的法线互相平行， 所以 ， 为确定因子，两边点乘， 即， 利用Lagrange恒等式 得到 ， ， ， 由此得， 于是， ， ， 。 曲面的第三基本形式 在曲面上任取一条曲线，则在曲面的球面表示曲面上得到对应的一条曲线。 ， ， 弧长微分是 令， 则有 也可以写为 ， 称它为曲面的第三基本形式，用表示： ， 其中称为曲面的第三类基本量。 以下证明第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示。 选取曲面上的正交曲线族为坐标曲线网。 。 ， ， ， ， 因为 所以， 从而共面，共面， 设，则有； 设，则有 。 于是 ， ， ， 代入第三基本形式， 可得到 。 因为这三个基本形式与都跟坐标曲线的选取无关，所以这个关系式对于曲面的任何坐标都成立。 这样我们证明了曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示。 9