矩阵分析报告理论基础知识.docVIP

前言 自我介绍 矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的 矩阵分析理论的组成：四部分： 基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵 矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用） 矩阵特征值的估算（第五章） 非负矩阵（第六章） 第一部：矩阵分析理论的基础知识 §1 线性空间与度量空间 一、线性空间： 1．数域：Df1：若复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P为一个数域 eg1：Q（有理数），R（实数），C（复数），Z（整数），N（自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间—设P是一个数域，V是一个非空集合，若满足： 1 可加性—指在V上定义了一个二元运算（加法）即： 经该运算总存在唯一的元素与之对应，称为与的和，记 并满足：① ② ③ ④ 2 数积：（数乘运算）—在P与V之间定义了另一种运算。即经该运算后所得结果，仍为V中一个唯一确定的元素。存在唯一确定的元素与之对应，称为k与的乘积。记为 并满足：① ② ③ ④ 则称V为数域P上的线性空间（向量空间）记为习惯上V中的元素—向量， —零向量， 负元素—负向量 eg2： P—实数域R 按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R上的线性空间，记为： 同样，若V为n维向量，则可构成R上的n维向量空间—线性空间。 eg3： P＝R 按照连接函数的运算，显然可建立R上的一个线性空间，记为。 根据线代中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数 3．线性空间的基与维数 Df3. 设V是P上的线性空间若 ①线性无关； V中任一元素可由线性表示 V为n维线性空间的一组基，dimV= n， 若为V的一组基，则对必有 则称为在基下的坐标，且坐标是唯一的。 eg4. 在线性空间中，是的一组基。 eg5. 中是的一组基，dim= n 4. 子空间—设V是P上的线性空间，，若对构成P上的线性空间则称与V的线性子空间，简称子空间。 eg: 最小子空间—零子空间。 dim{}=0 5. 生成子空间—设 ， 构成线性空间V的子空间，称为由的生成子空间，其中 思考：若线性无关，则 若线性相关，则 6.和空间—设，是线性空间V的子空间，称为与的和空间，记为 结论：若，是线性空间V的子空间，则亦是V的子空间。若分解唯一，则称为与的和，记为 结论：① 为直和 ② 若是的子空间，则存在唯一的子空间使 7.维数公式(维数Th) (书上Th4) 设V是P上的n维线性空间。，是V的子空间。则有 推论：若则 即 线性空间没有涉及到向量的长度，向量之间夹角等度量性质。为此引入内积概念，使这样的空间可以处理这些度量性质的问题。 二.度量空间（内积空间，欧几里得空间） Df：设V是R上的线性空间恒有唯一的实数与之对应，记为且满足： ① ② ③ ④ 等号成立。 称为与的内积，V称为度量空间（内积空间，欧几里得空间） eg 线性空间 易验证：满足①，②，③，④。故是度量空间 性质1 性质2 性质3 性质4 设 则有（见） 长度—设为内积空间V的任一元素，称为的长度。记为，即 夹角—称为与的夹角。 相应地有： 性质2. —内积空间（见推论） 5 6 7若与正交，则推广到有限个元素的情形 三．线性空间的同构 Df：设，是线性空间P上的两个线性空间，若与之间有一个一一对应，使得对及有： ① ② 则称与同构，称为从到的同构映射，记为： 2.性质： ① ② ③ 若在无关，则在中无关 反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。 ④ 同构的有限维线性空间，其维数相同。 反之，具有某些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这个问题。 Th: 数域Pn维线性空间与是同构的（proof见） 推论：数域P上两个有限维线性空间与同构 类似的，我们可以研究内积空间的同构（自己看§3） Df：内积空间与，若（一一对应）使有： 这节课，就讲到此，下去看书ch1.§1-§4. ch2. §1-§3 练习：习题一1.2 习题二1. 即作为线性空间与同构。在该同构关系下，向量内积保持不变。 同构的两个欧氏空间具有相同的维数。 Th：所有的n维欧氏空间都同构 §3.线性变换 线性变换与线性空间具有密切的联系，是矩阵论研究的主要对象之一。 线性变换 映射—在集合V与之间存在一个对应法则使得对于V中的任一元素a,都有中唯一的元素与之对应，称此对应法则为到的一个映射，记 变换—线性空间V到自身的