矩阵对角化学习.docVIP

矩阵的特征值与矩阵的对角化 【】 1. 2. 理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充要条件； 3. 理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向量的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。 【】1重要公式： 1、（是阶方阵的特征值） 2、（表示的迹） 3、A可逆 4、若可逆阵A的每行之和为，则为矩阵的一个特征值，为的一个特征值，且对应的特征向量为 5、设，则 6、A可逆且有n个线性无关的特征向量有相同的n个线性无关的特征向量。 7、 8、设是阶方阵特征值，是对应于的特征向量，则有如下表 矩阵 A B（A经过初等换所得） 特征值 不定 特征向量 不一定是 不定 2可对角化的判断方法： 1.有个线性无关的特征向量； 2.若A为实对称矩阵，则一定可以对角化； 3.若有个互不相同的特征值，则一定可以对角化； 4.设是的所有不同的特征值，且其相应的重数为， 若，，则一定可以对角化 4 A、B有相同的特征值 5 变 换 关 系 变 换 阵 性 质 等 价 PAQ=B P、Q可逆 秩不变 相 似 P可逆 秩不变，不变，，tr（A）=tr（B） 正交相似 C正交 同上 【】 1 求的特征值与特征向量. 解：特征方程为|λE－A|==(λ+1) (λ－1)2 =0， ∴的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。 把， 它的一个基础解系， . 同理可得A对应于特征值 . 例2已知，求一正交矩阵P，使P－1AP成为对角阵. 解特征方程为|λE－A|=(λ－6)2(λ+2),的全部特征值为, 当λ=6时，解方程组得， 它们显然正 交,所以只要对它们进行单位化，可得：， 。 当λ=－2时，解方程组得，单位化后，， 令， 则。 例3 设阶矩阵满足, 证明(1) 的特征值只能是1或0； (2) 可逆。 证: (1) 设为的任一特征值，为对应于的特征向量，则 ， 所以 。 又 , , 即 , 但,所以 , 即 或 . (2) 因-1不是的特征值，故, 即， 可逆。 例4假设λ为n阶矩阵A的一个特征值，证明：（1）若可逆，则 ，为 的特征值 (2)若可逆，则为A的伴随矩阵的特征值。（3）是的特征值 证: (1)由条件知有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘以A－1，得ξ=λ(A－1ξ)， 由于ξ为非零向量，故λ≠0，于是有 ，据特征值的定义，数为矩阵A－1的特征值。 (2) 由于，故（1）中的结论可写为 ，即,故数为的特征值。 （3）由题设条件，有非零向量ξ满足： ， 由定义，是的特征值 例5设A为n阶矩阵,试证齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是A有零特征根。 证: ：因AX=0有非零解，故|A|=0。因，∴λ=0是A的特征值。 ：因 0 为A的特征值，故，∴|A|=0，因而AX=0有非零解。 例6 设三阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为 ，又向量 将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；（2）求Anβ（n为自然数）。 解:（1）考虑向量方程 ，即， 把此方程组的增广矩阵作初等行变换 得唯一解(2, －2, 1)′，故有 β=2ξ1－2ξ2+ξ3。 （2）由于Aξi=λiξi，故；因此 【】 (1) n阶方阵若有n个不相同的特征值，则与一个 相似。 (2) 已知三阶方阵的特征值为1，2，3，则的特征值为 ，的特征值为 ； (3) 矩阵 的非零特征值是 。 (4)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是 。 (5)n阶单位阵的全部特征根为 ；特征向量为 。 二、选择题： (1)是三阶矩阵，特征值为,其对应的特征向量分别是 ,设 ,则有 (A) (B) (C) (D) ． (2) n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 （A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件 （C）必要而非充分条件 （D）即非充分也非必要条件 (3) 设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于 . （A） （B） （C） （D） (4) 设阶方阵满足＝O（k为正整数），则 （A）＝O （B）有一个不为零的实特征值 （C）的实特征值全为零 （D）有个线性无关的特征向量 (5) 设A是n阶矩阵，如果|A|=0，则A的特征值 （A）全是零 （B）全不是零 （C）至少有一个是零 （D）可以是任