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第九章 第九节 空间向量的坐标运算（B） 题组一 利用空间向量证明平行、垂直问题 1.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为(　　) A.， B．－，－ C．5,2 D．－5，－2 解析：a∥b? 答案：A 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析：如图，以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,1,2)． ∴＝(1，－1,2) ＝(－2，－2,0) ∴·＝0， ∴⊥. 答案：B 题组二 利用空间向量求空间角 3.(2010·陕西八校)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　) A. B. C. D. 解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－， sin〈，〉＝. 答案：B 4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C—C1的大小为________．解析：如图，建立空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)， 设AC的中点为M， ∵BM⊥AC，BM⊥CC1. ∴BM⊥平面A1C1C， 即＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量． 设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)． ＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)， ∴令z＝1，解得x＝0，y＝1. ∴n＝(0,1,1)， 设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角． ∵cosθ＝|cosφ|＝＝，解得θ＝. ∴二面角B1－A1C－C1的大小为. 答案： 题组三 利用空间向量求距离问题 5.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示．则点B到平面CMN的距离为________． 解析：取AC中点O，连接OS、OB. ∵SA＝SC，AB＝BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC， ∴SO⊥BO. 如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz， 则B(0,2，0)，C(－2,0,0)， S(0,0,2)，M(1，，0)， N(0，，)． ∴＝(3，，0)，＝(－1,0，)．＝(－1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则 取z＝1，则x＝，y＝－， ∴n＝(，－，1)． ∴点B到平面CMN的距离d＝＝. 答案： 6．已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点． (1)求证：平面EBD⊥平面SAC； (2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离； (3)当的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？ 解：(1)证明：∵SA⊥平面ABCD，BD平面ABCD， ∴SA⊥BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC， ∵BD平面EBD， ∴平面EBD⊥平面SAC. (2)设AC∩BD＝F，连结SF，则SF⊥BD， ∵AB＝2，SA＝4，∴BD＝2， SF＝＝＝3， ∴S△SBD＝BD·SF＝·2·3＝6， 设点A到平面SBD的距离为h， ∵SA⊥平面ABCD， ∴·S△SBD·h＝·S△ABD·SA， ∴6·h＝·2·2·4，∴h＝， 即点A到平面SBD的距离为. (3)设SA＝a，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)， ∴＝(1,1，－a)，＝(1,0，－a)，＝(0,1，－a)， 再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则 ∴y1＝0，从而可取x1＝a，则z1＝1，∴n1＝(a,0,1)， ∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝， 要使二面角B－SC－D的大小为120°，则＝，从而a＝1， 即当＝＝1时