【高考必备】数列问题与讲解.docVIP

1、设数列,满足,且,． （1）求数列的通项公式； （2）对一切,证明成立； （3）记数列,的前项和分别为、,证明：． 解（１）：∵　　　∴ ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列 (2分) ∴　 ∴ (4分) （２）证明： 　　　 构造函数　（ 　　　　， (7分) ∴在内为减函数，则 ∴　（ ∴，∴对一切，都成立 （３）证明：∵ ∵ 由(２)可知 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 2、设⊙，⊙，⊙是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别为已知，又⊙都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切. （1）求； （2）求由构成的数列的通项公式； （3）求证： . 　　 　解：（1）由题意可得 - 化简整理得， 所以 又 所以--------------------3分 （2）设相邻两圆圆心为，相应半径为，则 ， 如图，作垂足为. 即， 所以 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列. 所以. 故数列的通项公式为.---------8分 (3)证明：因为， 所以 =. 即有----------------12分 3.设A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数f(x)=+log2图象上任意两点，且=(+),点M的横坐标为.⑴求M点的纵坐标； ⑵若Sn==f()+f()+…+f(),n∈N*,且n≥2，求Sn; ⑶已知an=n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和，若 Tnλ(Sn+1+1) 对一切n1且n∈N*都成立，求λ的取值范围. 解:(1) ∵x1+x2=1,∴yM===； 4分 (2) ∵对任意x((0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f()+f(1-)=1,即f()+f()=1 而Sn==f（)+f()+…+f(), 又Sn==f()+f()+…+f() 两式相加得2Sn=n-1,∴Sn=. 10分 (3) n≥2时，an==4(),Tn=,λ,而≤=，等号成立当且仅当n=2,∴λ. 14分 4、设函数（1）求a1，a2，a4的值； （2）写出an与an—1的一个递推关系式，并求出an关于n的表达式。 （3）设数列 前n项和，整数103是否为数列中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。 解：（1） …………4分 （2） …………5分 …………8分 …………10分 （3） …………12分 故103不是数列中的项 …14分 5.已知函数与函数的图像关于直线对称． （1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域； （2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值； （3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式． 分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数学归纳法证明问题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。 转化（化归）思想， 解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以， ， （2）因为点在函数的图像上，所以， (*) 在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为： ① （3）直线的方程为：，， 在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以， =，结合①式可得： ② 由①可知：当自然数时，，， 两式作差得：． 结合②式得： ③ 在③中，令，结合，可解得：， 又因为：当时，，所以，舍去，得． 同上，在③中，依次令，可解得：，． 猜想：．下用数学归纳法证明． （1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立． （2）假设时命题成立，即，则由③式可得： 把代入上式并解方程得： 由于，所以，，所以， 符合题意，应舍去，故只有． 所以，时命题也成立． 综上可知：数列的通项公式为 6.已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立． (1)求函数f(x)的解析式； (2)正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2，求证：数列{