黎曼和与面积.pdfVIP

林信安老師編寫 第六十單元 黎曼和與面積 (甲)黎曼和的引入 (1)利用黎曼和定義面積： [直觀的看法] ： 設f (x)是[a,b]上的連續函數且f (x)≥0 ，而區域D 的邊界是y =f (x)的圖形、直線x=a 、x=b 、 x 軸，將[a,b]平分成n 等分，將區域D 分成n 個長條形，再用n 個矩形的面積和來近 似這n 個長條形的面積和 ，觀察下圖 ，直觀來說 ，當我們將長條形分得愈細 ，那麼每 個矩形的面積就會愈接近長條形的面積 ，即當n 愈大時 ，這n 個矩形的面積和就會愈 接近區域D 的面積，數學上這n 個矩形的面積和稱為黎曼和 。 [數學化] ： (1°)將[a,b]分成n分，分割點為a=x x x ….x =b ， 0 1 2 n 對於分割點x ,x ,…,x ，在[x ,x ]中任取t ，因為f (x)的圖形是連續不斷的，因此 0 1 n i−1 i i n n ∑f (t )(x −x ) 代表n個矩形的和，我們稱∑f (t )(x −x ) 為函數f (x)對於分割點 i i i−1 i i i−1 i 1 i 1 x ,x ,…,x 的黎曼和 。 0 1 n n (2°)根據圖形直觀的觀察 ，∑f (t )(x −x ) 可當成區域R面積的近似值 ，而且n愈大， i i i−1 i 1 ~60−1~ 林信安老師編寫 n n ∑f (t )(x −x ) 愈接近區域R的面積。故可將lim ∑f (t )(x −x ) 定義成區域R的面 i i i−1 i i i−1 n→∞ i 1 i 1 積。 n 為了能方便求得黎曼和∑f (t )(x −x −1 ) ，我們對於區間[a,b]都將其平分成n等分，即 i i i i 1 b−a x −x = (1≤i≤n) 。 i i−1