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实验11 统计推断 题目1 【问题描述】 某厂从一台机床生产的滚珠中随机抽取 9 个，测得直径(mm)如下： 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8 设滚珠直径服从正态分布，试自行给出不同的显著性水平，对直径的均值和标准差作区间估计。 【问题求解】 利用Matlab的统计工具箱及相关命令可以得到滚珠直径的均值和标准差的区间估计。 在Matlab中编写代码如下： %--------------------------作业题11_1脚本M文件源程序------------------------- clear all;clc; % 输入滚珠直径数据 x=[14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8]; % 设定不同的显著性水平 alpha=0.01:0.01:0.50; n=length(alpha); % 求出不同显著性水平下直径均值和标准差的点估计和区间估计 for i=1:n [mu(:,i) sigma muci(:,i) sigmaci(:,i)]=normfit(x,alpha(i)); end % 列出直径均值和标准差的点估计和区间估计 mu, sigma, muci, sigmaci, 【结果及分析】 求解结果如下面的表1（选取部分α下的数据）： 表1：不同的显著性水平下的滚珠直径的均值和标准差的区间估计 显著性水平α 均值区间估计 标准差区间估计 0.01 (14.6843 15.1379) (0.1224 0.4946) 0.05 (14.7553 15.0670) (0.1370 0.3884) 0.10 (14.7854 15.0368) (0.1456 0.3469) 0.20 (14.8167 15.0055) (0.1569 0.3070) 0.50 (14.8634 14.9589) (0.1794 0.2547) 由结果可见，显著性水平与置信区间估计的变化趋势是相反的，显著性水平越大，置信区间的大小越小。这与直观上的理解也是一致的。显著性水平代表的是不可信度（或者说置信水平1-α代表的是估计的可信程度）。置信水平越大（即α越小），估计的可靠性越高；而置信区间越小，估计的精度越高。因此两个指标的变化是相反的。通常，我们应当在一定的置信水平下选取尽量小的置信区间。 另外需要说明，上面的区间估计实在正态分布总体的假定下作出的。本题的模型是生产的滚珠的直径数据，可以认为其总体的概率分布的类型是正态分布。 【拓展思考、对比、分析】 ①点估计的计算、验证（用不同方法）和分析 可以借助本题研究一下参数估计中的点估计。 点估计是在总体分布已知的前提下（对于本题模型而言总体是正态分布），用样本统计量确定总体参数的一个数值。用Matlab来求解时，可以直接利用normfit命令求解，也可以通过点估计的定义或性质编程求解加以验证。 （1）直接利用normfit命令： 前面列出的代码中已经包含了用normfit命令求解滚珠样本数据的均值点估计和标准差点估计的过程。以=0.05为例，得到的结果为 mu=14.9111 sigma=0.2028 即滚珠直径数据均值点估计为14.9111，标准差点估计为0.2028 （2）利用Matlab统计工具箱求统计量的相关命令进行计算验证： 根据课本上所讲的点估计的评价标准，可以证明，不论随机变量X总体分布如何，样本均值和方差都是总体参数和的一致无偏估计，所以总体均值和方差的点估计通常取 因此可以利用Matlab统计工具箱求统计量的相关命令（mean和std）进行计算。运行如下代码： mu=mean(x) sigma=std(x) 得到的结果为 mu=14.9111 sigma=0.2028 即滚珠直径数据均值点估计为14.9111，标准差点估计为0.2028 （3）利用定义式求解： 还可以通过样本均值和方差的定义式进行求解。 运行如下代码： n=length(x) xbar=sum(x)/n spower=sum(((x-xbar).^2))/(n-1) s=sqrt(spower) 得到的结果为 xbar=14.9111 s=0.2028 即滚珠直径数据均值点估计为14.9111，标准差点估计为0.2028 综上，用不同方法计算得到的滚珠直径点估计值如下表2： 表2：不同方法计算得到的滚珠直径的均值和标准差的点估计 均值点估计 标准差点估计 直接利用normfit命令 14.9111 0.2028 利用求统计量相关命令 14.9111 0.2028 利用定义式 14.9111 0.2028 可见，求得的结果是一致的。 ②利用推导式自编程序求