复变函数与积分变换 全套课件（下）.pptxVIP

第5章 留数及其应用;本章介绍留数的概念，主要建立了;5.1留数 5.1.1留数的概;定义5.1设f(z)在有限孤立;由定理3.8可知，定义5.1中;例5.1由于在0|z|+∞;5.1.2留数定理 定理5.;等式两边同除以2πi，得 ? ;5.1.3留数的计算 一般地，;证若z0为f(z)的m级极点，;定理5.3函数P(z)及Q(z;例5.2求下列函数f(z)在其;(2) ;例5.3计算积分 ? 解显然;例5.4求 ;例5.5计算积分 解被积函数;5.1.4无穷远点的留数 定义;设f(z)在0≤r|z|+;例5.6求 ;下面给出另一计算 ;于是有式(5.8)， 例如;定理5.5（留数总和定理）设f;例5.7计算积分 ;再由 ? ? ? 可得 ;例5.8计算 ;5.2应用留数计算实积分 应用;证 令z=eiθ，则dz=ie;例5.9计算积分 ;被积函数在|z|=1内只有一个;例5.10计算积分 ;5.2.2 ;证设 ;根据留数定理5.1可得 ? ;由于n－m≥2，所以 从而，;例5.11计算积分 ;5.2.3 ;证类似于定理5.7中的处理法，;特别地，取式(5.12)的实部;例5.12计算积分 ;5.2.4积分路径上有奇点的积;由于 ? 所以 ? 故;而 ? 则 ? 又因 ? ;但 ? 故 ;5.3辐角原理及其应用 5.3;证因a是f(z)的m级零点，则;因为b是f(z)的n级极点，故;关于对数留数，我们有下面的重要;证设f(z)在C内有m个不同的;例5.14利用对数留数定理计算;5.3.2辐角原理 为了说明定;下面讨论定理5.10的几何意义;图5.5;设Γ的方程为 ? ? ? 这;定理5.11（辐角原理）在定理;无标题;由上可知，要证明N=N′，只需;事实上，由于在C上f(z)g;定理5.13若f(z)在D内单;例5.16证明代数学基本定理：;习题5 1．求下列各函数f(z;2．计算下列各积分（利用留数）;3．求Res［f(z),∞］的;5．计算下列各积分，C为正向圆;6.试求下列各积分的值.;7．设f(z)在z平面上解析，;11．证明方程 ;第6章 共形映射;我们已知道，复变函数w=f(z;6.1共形映射的概念 6.1.;函数w=f(z)把z平面上的曲;如果把z平面与w平面叠放在一起;下面讨论区域D内过点z0的两条;其中α′－α是C和C′在点z0;其次，我们讨论导数的模|f′(;综上所述，我们得出定理6.1.;例6.1试求映射f(z)=ln;6.1.2共形映射的概念 定义;于是结合6.1.1节的讨论，可;由定理6.1及复合函数的求导公;定理6.5（保域性）设w=f(;例6.3证明：映射 ;不少实际问题要求将一个指定的区;定理6.6（黎曼存在与唯一性定;应用定理6.7我们可以求已给区;图6.3;例6.4试求区域D： ;图6.4;由于区域D和G的多样性与复杂性;6.2分式线性映射 6.2.1;分式线性映射式(6.3)是由下;下面我们来考察上述3种映射的几;图6.5 ;定义6.4 设单位圆周C:|z;设 则 ;6.2.2分式线性映射的性质 ;定义6.5两曲线在无穷远点处的;下面讨论复合映射w=kz+h（;由上面的讨论可得到下面的结论.;下面我们讨论反演变换 ;定理6.9分式线性映射式(6.;(3)保对称点性 类似于定义6;下面的定理从几何的角度说明了对;证设过w1与w2的任一圆周Γ′;(4)保交比性 定义6.6 ;定理6.12在分式线性映射式(;在分式线性映射式(6.3)中含;事实上，假设在z平面上任意给定;例6.5求把 ;综上所述，分式线性映射式(6.;6.2.3分式线性映射的应用 ;例6.7若a,b,c,d都是实;例6.8试求将下半平面Im z;解设所求分式线性映射为 ;例6.9求将上半平面Im z;解根据边界对应定理，只要寻求到;因为z=0的像点 ;例6.10求将单位圆|z|1;解根据分式线性映射保对称点的性;例6.11求将单位圆|z|1;例6.12求将圆|z|r映射;图6.12;于是复合（2）与（4）得所求映;6.3某些初等函数所构成的共形;令 ，则;特别地，w=zn把角形区域D:;作为w=zn的逆映射 ? ?;例6.13试求一个把角形区域 ;图6.15;例6.14求一个把具有割痕Re;图6.16;6.3.2指数函数与对数函数 ;指数函数