复变函数与积分变换第5章留数及其应用.pptVIP

6.试求下列各积分的值.????? 7．设f(z)在z平面上解析， ，则对任一正数k，求 .8．若f(z)和g(z)在点z0 处解析，而且f(z0 )≠0,g(z)以z0为二级零点，证明： ，其中 .9．若f(z)在|z|≤1上解析且|f(z)|1，试问方程f(z)=z在|z|1内有几个根10．试证明若在简单闭曲线C上有 11．证明方程 的根都在圆环域1≤|z|≤2内.12．13．若|ak|1（k=1,2,…,n），|b|1，且??则方程f(z)=b在圆|z|1内有n个根；若|b|1，则方程f(z)=b在圆|z|1内恰有n个根.? * 证设 与 为互质多项式，且n－m≥2，由条件3可知, 在实轴上没有孤立奇点.取积分路径如图5.2所示，其中CR是以原点为中心，R为半径的上半圆周.取R足够大，使 在上半平面内的所有极点zk都包含在该积分路径所围区域内.   图5.2 根据留数定理5.1可得?因为??而当|z|充分大时，总可使? 由于n－m≥2，所以从而，在CR上（注意|z|=R）有??故当R→+∞时， ，于是由式(5.11)得式(5.10). 例5.11计算积分 .解由于 是偶函数，所以 .取 ，显然它在上半平面内只有两个一级极点 与 ，而Q(z)在实轴上没有零点，且分母的次数比分子的次数高二次，由公式(5.11)得???于是 5.2.3 型积分定理5.8设①P(x)与Q(x)为互质多项式；②Q(x)的次数比P(x)的次数至少高一次；③Q(x)在实轴上无零点；④ m0．则有?? 证类似于定理5.7中的处理法，容易得知：对于充分大的|z|，有 因此，在半径充分大的CR上，有????于是，当R→+∞时， 从而有式(5.12). 特别地，取式(5.12)的实部和虚部，分别有??? 例5.12计算积分 .解因为被积函数为偶函数，所以??由公式(5.14)得?? 5.2.4积分路径上有奇点的积分例5.13计算积分 解 令 ，由于该函数在实轴上有一个极点z=0，积分路径必须避开这个点.因此，以足够小的r0及足够大的R0为半径分别作半圆周：Cr:z=reiθ,0≤θ≤π及CR:z=Reiθ,0≤θ 取如图5.3所示的闭曲线为积分路径，由Cauchy积分定理，有? 图5.3? 由于?所以?故? 而?则?又因 ??其中 在z=0处解析，且φ(0)=i，故当|z|充分小时，可使|φ(z)|≤2.因此，? 但?故 ?所以当r→0和R→∞时，由式(5.16)，式(5.17)与式(5.18)可得??  5.3辐角原理及其应用5.3.1对数留数因为 所以称积分 为f(z)关于曲线C的对数留数.显然，函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.定理5.9设a，b分别是f(z)的m级零点和n级极点，则a，b都是 的一级极点，且 证因a是f(z)的m级零点，则在a点的某邻域内有??其中φ(z)在a点的邻域内解析，且φ(a)≠0.于是??由于φ(a)≠0，故 在a点解析，从而a是 的一级极点，且?? 因为b是f(z)的n级极点，故在b点的某去心邻域内有??其中g(z)在b点的邻域内解析，且g(b)≠0，于是??由于g(b)≠0，故 在b点解析，从而b是