复变函数与积分变换第7章Fourier变换.pptVIP

19.已知F(ω)=F［f(t)］，证明（翻转性质）20．利用对称性求下列函数所对应的f(t).21.证明下列各式.22.求下列函数的傅氏变换. 23.已知某波形的相关函数 ,求这个波形的能量谱密度.24.证明周期为T的非正弦函数fT(t)的频谱函数为其中,Cn为fT(t)的傅氏级数展开式中的系数.25.求出 的频谱函数,并画出它的频谱图.26.求如图所示的锯齿形波的频谱函数,并画出它的频谱图. 27.利用傅氏变换,证明弦振动方程问题 若f(t)的Fourier级数表示为复数形式，即 所以，以T为周期的周期函数f(t)的第n次谐波的振幅为An=2|Cn|(n=0,1,2,…)，即用横坐标表示频率ωn，纵坐标表示振幅An，把点(ωn,An)用图形表示出来.对于非周期函数f(t)，当它满足Fourier积分定理中的条件时，f(t)的Fourier变换F(ω)称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(简称频谱).由于|F(ω)|是ω的连续函数，所以称之为连续频谱.可以证明，频谱|F(ω)|是频率ω的偶函数，在作频谱图时，只要作出(0,+∞)上的图形，根据对称性即可得到(－∞,0)上的图形． 例7.7作出下图所示的单个矩形脉冲的频谱图.解单个矩形脉冲的频谱函数为注意F(ω)是偶函数，这里只画出了ω≥0的部分. 7.3Fourier变换的性质 (1)线性性质设F1(ω)=F［f1(t)］,F2(ω)=F［f2(t)］，α,β是常数，则这个性质用Fourier变换的定义即可证。它表明了函数线性组合的Fourier变换等于各函数Fourier变换后的线性组合. 同样Fourier逆变换也具有类似的线性性质，即 (2)原函数的位移性质它表明时间函数f(t)沿t轴向右或向左位移t0的Fourier变换等于f(t)的Fourier变换乘以因子 证由Fourie变换定义可得例如， 因为F［δ(t)］=1，则由原函数的位移性质知 (3)象函数的位移性质(4)相似性质 (5)原函数的微分性质证首先，由高等数学知识可知，对任何k∈N∪{0}，满足Fourier积分定理条件的函数 于是由Fourier变换定义，利用分部积分可得类似可证其余部分. (6)像函数的微分性质 (7)积分性质 例7.9利用Fourier变换的性质，求下列函数的Fourier变换. (8)乘积定理 (9)能量积分 例7.10 为了叙述卷积定理，我们先给出定义7.7若已知函数f1(t),f2(t)，则积分 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即由卷积的定义，容易验证卷积满足下面运算规律 （10）卷积定理若F1(ω)=F［f1(t)］,F2(ω)=F［f2(t)］，则F［f1(t)*f2(t)］=F1(ω)·F2(ω)，或F－1［F1(ω)·F2(ω)］=f1(t)*f2(t)这个性质表明，两个函数卷积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积.证按Fourier变换的定义，有不难推证：若F［fk(t)］=Fk(ω)(k=1,2,…,n)，则有 例7.12设f(t)定义于(－∞,+∞),求f(t)H(t),并求F［f(t)*H(t)］.后一等式利用了δ函数的性质.Fourier变换在工程技术中有广泛的应用，下面举例说明Fourier变换在求解微分方程、微分积分方程等方面的应用. 例7.13解积分方程解由Fourier正弦变换及其逆变换的定义知，若 例7.14解微积分方程 例7.15解微分方程mx″(t)+cx′(t)+kx(t)=f(t)，其中m,c,k为常数,f(t)为已知函数.解对方程两边取Fourier变换，得 例7.16用Fourier变换求下述无界弦振动方程的初值问题. 解对x作Fourier变换，为方便起见，记 对式(7.22)的各式对x作Fourier变换，得常微分方程式(7.2