复变函数与积分变换第4章解析函数的级数展开及其应用.pptVIP

例4.17将函数 在z=1的去心邻域内展成Laurent级数.解利用正余弦函数的展开式得???? 例4.18求积分 其中C 为绕原点的正向简单闭曲线.解f(z)= 在圆环0z+∞ez内处处解析，闭曲线C含在 内部，又 的Laurent级数为??即 ，根据Laurent系数的计算公式得 4.3.3孤立奇点及其分类定义4.7如果f(z)在z0不解析，但在z0的某个去心邻域NR(z0)\ {z0}内解析，则称z0是f(z)的孤立奇点.例如 以z=1为孤立奇点， 以z=0为孤立奇点.注：一个函数的奇点并不一定都是孤立的，例如函数 的所有有限奇点为?? 其中 (n=±1,±2,±3,…)是孤立奇点，但z=0不是孤立奇点，事实上它是f(z)的奇点集合的一个聚点.若z0是f(z)的孤立奇点，则由定义及Laurent定理，??称 为f(z)在z0的正则部分，而 称为f(z)在z0的主要部分. 定义4.8设z0是f(z)的孤立奇点.①如果f(z)在z0的主要部分为零，则称z0是f(z)的可去奇点；②如果f(z)在z0的主要部分仅为有限多项，设为??则称z0是f(z)的m阶极点；③如果f(z)在z0的主要部分为无限多项，则称z0是f(z)的本性奇点. 于是由例4.13~例4.15可知，函数 分别以z=0为可去奇点、二阶极点、本性奇点.对于f(z)的可去奇点z0 ，由定义可知，f(z)在z0的Laurent级数实际上就是Taylor级数 适当定义f(z)在z0的值，比如f(z0)=c0，则f(z)在z0解析，所以通常把可去奇点当作解析点.对于可去奇点，有下述等价刻画. 定理4.20设z0是f(z)的孤立奇点，则下列三种说法等价.①f(z)在z0的主要部分为零;②③f(z)在z0的某个去心邻域内有界. 证我们只要证明 即可，由Laurent定理及条件(3)可知，存在z0的某个去心邻域NR(z0)\ {z0}及常数M0，使得对 z∈NR(z0) \{z0}，有f(z)≤M，且 ，其中??于是当n0时，?即cn=0,(n=－1,－2,…),f(z)在z0的主要部分为零. 对于极点，有下述定理.定理4.21设z0是f(z)的孤立奇点，则下列三种说法等价.f(z)在点z0的主要部分为?② 其中φ(z)在点z= z0处解析且φ(z0)≠0;③ z0是函数1f(z)的m阶零点. 证明① ②：由假设有??其中 在点z=z0处解析且φ(z0)=c－m≠0. ② ③：由假设知， 在点z=z0处解析且Φ(z0)≠0，因为??由定理4.15可知，z0是函数 的m阶零点. ③ ①：设z0是函数 的m阶零点，根据定理4.15可设?其中Φ(z)在点z= z0处解析且Φ(z0)≠0，那么 也在点z= z0处解析，从而有?? 其中1Φ(z0)=a0≠0.故??可见f(z)在点z0的主要部分为式(4.19)的形式. 推论4.22函数f(z)以孤立奇点z0为极点的充要条件是注意本性奇点是既不为可去奇点，又不为极点的孤立奇点，因此，对本性奇点有定理4.23.定理4.23设z0是f(z)的孤立奇点，则下列说法等价.①f(z)在点z0的主要部分为无限多项;② 不存在，也不为∞. 例4.19求下列函数在C上的所有奇点并判别其类型??解（1）f(z)的有限奇点为z=0，因为z=0为sin z的一阶零点，故z=0为f(z)的二阶极点.事实上f(z)可表为 ，其中φ(z)在点z=0处解析且φ(0)≠0.（2）g(z)的有限奇点为z=0,z=±i，其中z=0为g(z)的三阶极点，z=－i为g(z)的二阶极点，z=i为g(z)的一阶极点. （3）h(z)的所有有限奇点为z=2kπi(k=0,±1,±2,±3,…).当z0 =0时??故z0 =0为h(z)的可去奇点.当zk=2kπi≠0时，因为zk是ez－1的一阶零点，于是zk是 的一阶极点，又zk