2018年高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的通项公式与递推公式练习（含解析）新人教A版必修5.docVIP

2.1.2 数列的通项公式与递推公式 一、选择题： 1．已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1－1(n1，n∈N*)，则a99＝(　　) A．1 B．99 C．－1 D．－99 【答案】 【解析】由a1＝1，an＝2an－1－1，得a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…， ∴a99＝1. 故选. 2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】 【解析】由an＝(－1)n·2an－1及a1＝知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝. 故选. 3．函数y＝f(x)的图象在下列图中并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1an，则该函数的图象是(　　) A B C D 【答案】 【解析】：an＋1＝f(an)an，故f(x)满足f(x)x，即f(x)的图象在y＝x的图象上方，故A项正确． ．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 01＝(　　) A．－2 B．－C．－ D．3 【答案】 【解析】∵a1＝－2，an＋1＝，∴a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2. ∴该数列是周期数列，周期T＝4.又2 01＝50×4+1，∴a2 01＝a＝－2. ．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝2(n≥2)，则数列的通项an＝(　　) A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2(n－1) 【答案】 【解析】∵an－an－1＝2，∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝＝2(n－1)， ∴an＝2n－1. 故选. 二、填空题： 6．已知数列{an}中，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，则a1＋a2＋a3＝________. 　6 由a1a2a3＝a1＋a2＋a3,2a3＝3＋a3，得a3＝3.∴a1＋a2＋a3＝1＋2＋3＝6. ．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a3＝1，则m所有可能的 取值为________． 【解析】 (1)若a1＝m为偶数，a2＝，①当为偶数时，a3＝，故＝1?m＝4；②当为奇数时， a3＝＋1，由＋1＝1得m＝0(舍去)．(2)若a1＝m为奇数，则a2＝3a1＋1＝3m＋1为偶数， 故a3＝必为偶数，所以＝1可得m＝(舍去)． ．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相 互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是 ________． an＝ 设OAn＝x(n≥3)，OB1＝y，∠O＝θ， 记S△OA1B1＝×1×ysinθ＝S，那么S△OA2B2＝×2×2ysinθ＝4S， S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S，…， S△OAnBn＝x·xysinθ＝(3n－2)S，∴＝＝， ∴＝，∴x＝.即an＝(n≥3)．经验证知an＝(n∈N*)． 三、解答题 9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)写出数列{an}的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式； (3)画出数列{an}的图象． 【解析】 (1)a1＝1，a2＝×1＝， a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝. (2)猜想：an＝. (3)图象如下图所示： 10．已知数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)．求数列的通项an. 【解析】解法一：(累乘法)∵an＝n(an＋1－an)，即＝， ∴＝，＝，＝，…，＝. 以上各式两边分别相乘，得＝×××…×＝n.又a1＝1，∴an＝n. 解法二：(逐商法)由＝知，＝，＝，＝，…， an＝a1····…··＝1××××…××＝n. 1．已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝.(a为常数) (1)若对任意的x1≠－1，有xn＋2＝xn对任意的n∈N*都成立，求a的值； (2)当a＝1时，若x10，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由； (3)当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定．当a＝2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列” 的一个真命题．(不必证明) 　 【解析】 (1)∵xn＋2＝＝＝＝xn， ∴a2xn＝(a＋1)x＋xn.当n＝1时，由x1的任意性，得 ∴a＝－1. (2) 数列{xn}是递减数列． ∵x10，xn＋1＝， ∴xn0，x∈N*.又xn＋1－xn＝－xn＝－0，n∈N*，故数列{xn}