蒙特卡洛方法的应用1.pdfVIP

蒙特卡洛方法的应用 实验目的 学习如何应用蒙特卡洛方法解决实际问题 实验内容 1、起源和发展 2、原理 3、计算机模拟应用实例 4、实验作业 一、MC 的起源和发展 随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法， 是一种基于 “随机数”的计算方法。这一方法 源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹 的 “曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数 学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一 层神秘色彩。冯·诺伊曼是公理化方法和计算机 体系的领袖人物，Monte Carlo方法也是他的重 要贡献。 事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以 前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就 知道用事件发生的 “频率”来近似事件的 “概 率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投 针试验的方法来确定圆周率 π的值。这个著名的 Buffon试验是Monte Carlo方法的最早的尝试！ 历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。 然而，他们的试验是费时费力的，同时精度 不够高，实施起来也很困难。然而，随着计 算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施 这些试验，而只要在计算机上进行大量的、 快速的模拟试验就可以了。 Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出 的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟 的。 Buffon试验 假设平面上有无数条距离为1的等距平行线， 现向该平面随机投掷一根长度为l的针(l≤1)， 则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。 这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的 平行线间的距离X 均匀地分布在区间 [0,1/2]上， 针与平行线的夹角ϕ （不管相交与否）均匀的 分布在区间 [0,π]上。此时，针与线相交的充 要条件是 X l ≤ sinϕ 2 注意: f X (x)f ϕ (w) 2 ⋅1 π Buffon试验 从而针线相交的概率为 l  l  π sinϕ 2 2l p ˆ PX ≤ sinϕ  ∫ ∫2 dxdw  2  0 0 π π 根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与 线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相 交的概率p ，从而得到π 的估计值。 针与线的位置关系： function piguji=buffon(llength,mm) %llength 是针的长度 %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(0,0.5,1,mm); phi= unifrnd(0,pi,1,mm); for ii=1:mm if (xrandnum(1,ii)=(llength*sin(phi(1,ii))/2)) frq=frq+1; end end piguji=2*llength/(frq/mm) buffon(.6,1000) piguji = 3.1662 buffon(.6,10000) piguji = 3.1072 buffon(.6,100000) piguji