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高等数学12-9二阶常系数齐次线性微分方程
章节题目 第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 内容提要 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式及解法
高阶常系数齐次线性微分方程解法
重点分析 二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法 难点分析 习题布置 1（单）、2（单）、5 备注 教 学 内 容 一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
将其代入上方程, 得
故有特征方程
特征根
( 有两个不相等的实根
特征根为
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
(有两个相等的实根
特征根为 一特解为
得齐次方程的通解为
(有一对共轭复根
特征根为
重新组合
得齐次方程的通解为
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.
例1
解 特征方程为
解得
故所求通解为
例2
解 特征方程为
解得
故所求通解为
三、n阶常系数齐次线性方程解法
特征方程为
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.
例3
解 特征方程为
特征根为
故所求通解为
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根;
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
特征根的情况
通解的表达式
实根
实根
复根
思考题
求微分方程 的通解.
思考题解答
令则特征根
通解
1
特征方程的根
通解中的对应项
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