数学物理方法_第5章 Legendre多项式(上).pdfVIP

5.1 Legendre方程和Legendre多项 式的引出 在这一章中，我们讨论另一个重要的特殊函 数Legendre多项式。首先将通过在球坐标 系中对Laplace方程分离变量，引入在第三章 中曾讨论过的Legendre方程，及其解 Legendre函数。并深入讨论Legendre方程在 区间 1,1   上有界解构成的另一类正交函数 系Legendre多项式。 首先我们从一个实际例子出发，引出 Legendre方程。  例1 在本来匀强的静电场E 0 中，放置一个 导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样 改变了匀强电磁场。 对比“大地与带电云的电场中导线”的例题， 这里是三维静电场问题，球外电势满足 Laplace方程，在距球无穷远处，电场保持  为原来的 E0 以球心为原点取球坐标系， 则定解问题是  2  u 0 r a , 5.1.1       u E z E r cos, 5.1.2 r  0 0  u 0. 5.1.3  r a  现在求解这个定解问题。在球坐标系 (r,,) 2 中，Laplace方程  u(r,,) 0 2 1   2 u  1   u  1  u 2 r  2 sin  2 2 2 0 r r  r  r sin     r sin   用分离变量法求解，设 u(r,,) R(r)()() 代入到方程中，得  d dR R d d 2  2    R d  2 r  2 sin  2 2 2 0 r dr dr r sind  sin      d  r d  r , 将关于 的变量和关于 的变量分离 2 2 为此，用 r sin  遍乘上式，并适当移项， R 2