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数学文化第八讲

第八讲 分形与混沌 一、问题的产生 1.英国的海岸线 1970年法国数学家 B.B.Mandelbrot在 《Science》 杂志上发表文章 “英国的海岸线有多长?” 英国的海岸线有多长?富有个性的一位英国前辈 、湍流研究的首创者理查德逊(Lewis F.Richardson,1881-1953),曾对曲折的国境线好奇。他 比较了比利时、荷兰、西班牙和葡萄牙的百科全书, 发现这些国家对共同边界长度的记载相差20% Mandelbrot在他的文章中得出结论 :任何海岸线在某 种意义上是无限长的 这真是与普通常识相悖。如果 真是与普通常 相悖 这 识 无限长,那为什么马拉松运动员能从海岸线一端跑到 另一端? Ø 要测量一条海岸线的长度,拿一只两脚规,把它张成 某个单位的长度,比如一米。然后沿着海岸线一步一步地 数数,最后的米数只是真实长度的一个近似,因为两脚规 忽略了两脚之间的迂回曲折。 Ø 如果把两脚规并拢一些,比如张成一尺长,再量一次 ,就会数到大一些的长度,这是因为原来每步一米量了一 步的距离,现在每步一尺量出来不止三步。 Ø 再把两脚规的步长缩短到一寸,重新数步子,就会算 出更大的长度。 如果有一只不厌其烦的小蚂蚁自告奋勇地担当两 脚规的角色,翻过海岸线上的每一粒粗沙子,它会向 我们报告一个还要大的长度。看上去,两脚规张得越 窄,量得的长度越大。 但是常识告诉我们,他们会趋向于一个最终值, 即海岸线的实际长度。 如果海岸线是 “足够规则的”,譬如是椭圆形的,那么 上述 “两脚规”测量的过程确实收敛到一个有限数。 (大学微积分里学到的怎样计算光滑曲线的长。) Mandelbrot发现,当把 “两脚规”的步距越调越小时, 因为大海湾显露出越来越小的子海湾,犬牙交错,弯弯曲曲 ,参差不齐,所得到的海岸线长度也就无限地上升: 当测量单位变小时, 所得的长度是无限增大的。 Ø 英国地形测量局公布的英国海岸线长度为 17819.88千米。但是如果测量得再细致一些,把更 细微的部分度量进去,就能得到两倍的数字。 Ø 1961年,葡萄牙方面宣称它与西班牙交接的边 界长度为1220公里,而西班牙方面提供的数据位990 公里。 Ø 类似的差异出现在荷兰和比利时之间的边界长 度上。一般来说,较小国家测出的边界线总是更长 些。 中国古代数学家刘徽、祖冲之用“割圆术”求圆 周率时,用尽量小的尺去量圆周长,即当尺的长度 趋于零的时候,测量出的长度趋于圆的周长。 这样细致下去,到底有没有极限?也许测量得 越细致,海岸线的长度就会越长。 持续重复这一过程,不断把线段一分为三,然 后以两条同等长度的边线代替中间一段。每进行一 次,线条长度增加为原来的4/3倍,100次之后,海 岸线长度变为原来的 (4/3)^100,刚刚超过30亿米。 因此,拉直之后,可从地球一直延伸至土星上。 物理学: 拆分流程无法超过某个特定限度,若 距离小于10^(-34),超出了可测量的极限,否则会 出现黑洞。 进行到72次之前,线段的长度就已经小于10^(- 34) 2. 柯赫曲线 在理论数学中,瑞典数学家Koch早在1904年就构造 了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对 象。 3. 自相似性 柯赫曲线自身的任何一个局部,放大后都与整体 非常相似。 柯赫曲线是通过无限的 骤创造的。 二、分 形 有一段时间 google 的图标变成上面这个样子,很多人 不明白,这是什么意思,其实这是为了纪念法国数学家 Gston Julia,是他发现了在数论中有名的Julia序列,就是 这个google LOGO上面看到的数学公式。通过这个数学公式 可以在解析几何上实现很多不规则边 的图形。学名叫作分

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