数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式.pdfVIP

数学物理方法 于承斌 cbyu@tsmc.edu.cn 泰山医学院 第十四章 行波法与达朗贝尔公式 第十四章 行波法与达朗贝尔公式 14.1 二阶线性偏微分方程的通解 对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解， 但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后， 有的可以得到通解。 例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280 例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P281 14.2 二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法― ―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程 类型的求解十分有效. 1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程 au +bu +cu 0 (14.2.1) xx xy yy 方程中的系数 a,b, c 为实常数． （说明：这里我们用了小写字母 a,b,c 表示它是实常数，而不是 (x, y ) 的函数） 假设方程的行波解具有下列形式 u(x, y ) F (y +λx ) 代入方程即得 2 ′′ ′′ ′′ aλF (y λx) bλF (y λx) cF (y λx) 0 + + + + + 需要求方程的非零解，故 F (y +λx ) ≠0 上述方程变为 2 (14.2.2) aλ +bλ+c 0 2 (i) ∆ b =−4ac 0 对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根 λ,λ 1 2 u(x, y) F ( y =+λx) +G( y +λ x) (14.2.3) 1 2 2 (ii) ∆ b =−4ac 0 b 对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根 λ λ − 1 2 2a u(x, y) F ( y =+λx) +xG( y +λx) (14.2.4) 1 1 2 (iii) ∆ b =−4ac 0 ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4） 有两个虚根 λ α+iβλ, α=−iβ ，则 1 2 u(x, y) F(y+λx)+G(y+λx) F[(y=+αx)+iβx]+G