孤子方程的求解方法及Lax可积系统探究.docVIP

孤子方程的求解方法及Lax可积系统研究 1、相关定义 1.1、随机微分方程相关的基本概念 众所周知,常微分方程的一般形式是: =dx ( t ) f ( t , x ( t ))dt ,t J(2-1) 只要是确定依赖于初始状态的时间系统,通常情况下都可表示为常微分方程的 模型。然而,在存在随机扰动的现实生活中会出现不确定性,方程(2-1)不再是 描述这类系统正确的有效工具。所以我们要对方程(2-1)进行适当的改变使其能 够反映现实生活中的现象(即带随机干扰)。方程(2-1)的加入随机干扰项,转 化为下面的随机微分方程(SDE): dx ( t ) =f ( t , x ( t )) dt + g ( t , x ( t )) d ω( t ),t J(2-2) 其中 f :J × d → d与 g :J× d → d ×m( f 和 g 都是普通函数)是给定的 Borel 可测函数, ω = ( ω1 , ω 2, ,ω)T n是给定的 m 维标准布朗运动。 定义 2.1 任一族随机变量{ X t: t T}称为以 T 为参数集的随机过程[26]。 定义 2.2 一个随机过程{ Bt , t ≥ 0}称为布朗运动,如果它满足: (1)B0 = 0, { Bt , t ≥ 0}是 独 立 的 增 量 过 程 , 即 对 任 意 互 不 相 交 的 区 间 ( s1 , t1 ] , ( s 2 , t 2] , , ( s n ,tn],相应的增量Bt 1 Bs 1 , Bt 2 Bs 2, ,Bt n Bsn都互相独立; (2)对于任意 s ≥ 0, t 0,增量 Bt +s Bs N ( 0,Dt); (3)对每一个样本点 ω ,样本轨道 Bt ( ω )是连续函数(作为 t 的函数)[36]。 1.2、二元扰动状态概念及扰动方程 2.1 原理2.1 原理 在不同组分组成的混合态的材料中,各组分相互作用所表现的宏观行为可以由通过称 为挠动函数 D 联系起来的组分响应来表达。就变形工程材料的力学响应而言,这些组分视 为参考态。对于同种材料单元,它的起始连续或相对无扰动态(RND)被视为参考态。而对 于某个相对无扰动态,由于粒子相对的运动或裂纹扩展等因素而产生的材料的转移而形成 的完全扰动态(RCD)也是参考态。关于挠动状态概念的示意图如图 2-1 所示。图 2-1(a)~ 2-1 (c)分别表示带有初始扰动的相对无扰动态、连续被扰动的中间态和”最终破坏”的相对完全 扰动态。在材料受到连续扰动的过程中,扰动微粒连接成扰动块,从而导致局部的失稳。 于是在变形的过程中,有关的力学量将不再保持光滑,如图 2-1(d)所示。 下面的例子可以直观地理解关于参考态的概念。如果一个固体被加热到一定的温度, 它就熔化或者液化,那么对应的固态和液态就表现为两种参考态。如果液体被继续加热, 那么它就成为气体。于是对应的液态和气态也代表参考态。如果一块冰融化成水,那么对 应的冰态和水态也就被当作参考态。 首先考虑同种材料单元变形的二元扰动态概念,然后考虑由一种以上材料组合的材料 单元变形的扰动态。 材料具有渐进的无扰动态和完全扰动态的应力-应变关系如图2-2所示。绝对无扰动态 被认为是在理论密度最大时材料的状态。然而,材料可以在其他的密度状态下存在,而这 状态可以取作为相对无扰动状态。相对无扰动态的选择取决于材料的特性和合理的实验数 据。例如,没有微裂纹存在的连续体的线弹性响应可以定义为受微裂纹扩展影响的非线弹 性响应的相对无扰动态,如图2-2(a)所示;没有摩擦的弹塑性行为可以定义为关于有摩擦的 图 2-1 扰动态概念下的相对无扰动和相对完全扰动态 (a)起始状态(相对无扰动);(b)中间态;(c)”破坏”(相对完全 扰动);(d)局部失稳下的应力—应变曲线。 转换 转换 扰动微粒扰动块 相对无扰动区 相对完全扰动区 σ ε (a) (b) (c) (d) O 6 弹塑性行为的相对无扰动态响应(如图2-2(b)所示);弹塑性响应可以定义为有微裂纹扩展和 软化行为的相对无扰动态(如图2-2(c)所示)。 相对完全扰动态的渐进态 (RCD)∞是在外荷载作用下,材料达到的最终状况。材料在 最终状况的行为是实验室不可测量的,不过可以由近似确定的渐近值定义,与此对应的状 态称为准RCD态,简称为RCD态(如图2-2所示)。 1.3、随机微分方程基本定义 一维 It 型的随机微分方程一般具有以下形式 dX t X t , t dt X t , t dB t (2-1) 其中, X 0 x0, t 0,T , B t 表示标准的一维布朗运动。 随机微分方程(2-1)使用布朗运动描述噪声干扰项,而布朗运动的样本函数在 任意小的区间内都不具有有界