奇异系统地容许性分析.docVIP

奇异系统的容许性分析 1、相关定义 1.1、可容许估计的概念 设δ (X ) 是一个统计决策问题中的决策函数,那么损失函数L (θ ,δ ( X )) 关于样 本 X 的分布Pθ ( x) 的数学期望 R(θ , δ )= EXθ [ L (θ , δ ( X ))] 称为决策函数δ (X ) 的风险函数,有时简称风险。 利用风险函数对决策函数的容许性做出评价不在于选优,而着眼于除劣。 定义 对给定的统计决策问题和随机化决策函数类D,决策函数δ 0(D x ) 称 为非容许的,假如在决策函数类D中存在另一个决策函数δ 1(D x ) 满足如下两个条 件: 1. R(θ , δ 1)≤ R (θ , δ 0 ), ? θ Θ 2. 在Θ 中至少有一个θ 0 ,有R(θ 0 , δ1 )≤ R (θ 0 ,δ 0 ). 假如在决策函数类中不存在满足上述两个条件的决策函数, 则称δ 0(D x ) 为 容许的。 从上面这个定义可见,非容许决策函数是不应该被采用的。决策函数的可容 许性的实际意义在于缩小挑选的范围。 1.2、多边形的概念和数据结构表示方法 二维布尔运算的对象是多边形(Polygon)。对于多边形的概念,随着人们认识 的深入,形式和抽象程度也在变化和提高。最初的形式是简单的(1)凸多边形 (Convex Polygon),用环的理论来说,就是只有一个外环,并且对于任意两个属于 多边形的点 v1P,v2∈P,那么线段 v 1 v2 上任何一点 v v 1 v2 ,必然有 vP。随后扩 展到包括(2)凹多边形(Concave Polygon),同样只有一个外环,但是凸性不成立。 之后多边形也可以带有洞(Holes),即(3)有内环的多边形。多边形也可以(4) 自相交(Self-Intersect),即自交叠的(Manifold)。 在下面的讨论中,本文按照多边形内涵和外延的发展过程,将多边形的分为四 类:(1)I 类多边形,指多边形是凸的;(2)II 类多边形,指该多边形可以是凹的, 但不能有洞,也不能自相交;(3)III 类多边形,指该多边形可以是凹的,也可以有 洞,但不能自相交;(4)IV 类多边形,该多边形既可以是凹的,也可以有洞,还可 以自相交。本文着重讨论的是 III 类多边形,在第二章接下来的介绍中会引用上述多 边形类型。 1.3、矩阵的有关概念 定义 1.1[2]设 A = ( a j)Cm× n i, B = ( a j)∈Cm× n i则称矩阵 C = (c )Cm× n ij, ci j =ai j bij为矩阵 A,B 的Hadamard 乘积,记为C =A oB。 定义 1.2[1]设 x ,y Cn, x 与y的内积定义为 x , y = y H x = x Hy = y ,x x H表示同时对向量x求转置和共轭。 定义 1.3[1]设 A = ( a )Cn× n ij,若对任意的 i {1,2, L , n}有| ai i |≥ ∑| aij| i ≠j ,则称 A 为对角占优矩阵,记为A D0;若对任意的 i {1,2, L , n}有| ai i | ∑| aij| i ≠j,则称 A 为严格对角占优矩阵,记为 A D。 定义 1.4[2]设 A = ( a )Cn× n ij,若对任意的 i {1,2, L , n}有| ai i |= ∑| aij| i ≠j ,则称 A 为等对角占优矩阵,称第 i 行是等对角占优行。 定义 1.5[2]设 A = ( a )Cn× n ij,如果 x = ( x1 , x 2, L, x)T n0,使得AX D0,则 称矩阵 A为广义对角占优矩阵,记为A D* 0;如果AX D,则称矩阵 A 为广义严 格对角占优矩阵,记为A D*。 定义 1.6[1]设 A = ( ai )Cn× n j,如果 P Cn× n(置换矩阵),使得 PAPT=B C 0D 其中B 和D分别是k ,l阶的方阵, k , l ≥ 1,则称 A为可约矩阵;否则称 A为不可 约矩阵。 定义 1.7[2]设 A = ( a )n n ij n× nC×,且可表示为 2 A = sI Bs 0, B≥0 若 s ≥ρ( B),则称 A为M 矩阵。 定义 1.8[2]设 A = ( a )n n ij n× nC×,M ( A) = ( mi )n n jn× n∈C×,则称 M ( A) 为矩阵 A的 比较矩阵,其中 m= | ai i|,j =i ij| ai j|,j ii , j {1, ≠L, n} 定义 1.9[2]设 A = ( ai j)Cn× n,如果 A的比较矩阵M ( A ) =( mij )n× n为M 矩阵, 则称 A为(非奇异)H 矩