反求标准型有理二次Bezier曲线的参数与内权因子.pdfVIP

cA B足 b 第7卷第2期 计算机辅助设计与图形学学报 ’ vol·7，No·2 旦 ： ： ： ～ ． 反求标准型有理二次B~zier曲线的参数 与内权因子 蕉洼主 1 ft7 2 (北京航空航天大学翩造工程系 北京 lobO83) 1 摘要 给定不共线的三个控制顶点和位于这些顶点的凸包内在二班曲线上的一点，可以丧定 一 奈标准型有理二班Bazier曲线。本文提供了一些简单有效的方法+反求曲线上谊点的参数 和内权因子，避免了数值计算的不稳定性。 关 键 词 计算札辅助几何设计，有理B~zier曲线，二次曲线 1 引 言 非均匀有理B样条(英语缩写NURBS)已经作为统一的形状数学描述方法纳人工业 产品几何定义的STEP国际标准 。有理B~zier方法是NURBS方法的特例。绝大多数的 工业产品外形都由二次曲面构成。作为二次曲面基础的二次曲线由于能用有理二次 Bezier曲线统一、精确地表示，使得有理二次B~zier瞳线在计算机辅助几何设计(CAGD) 实践中获得了广泛的应用。反算问题作为有理 二次]~zier曲线的基本问题之一早已由Faux 与Pratt口 给出。通常由给定一段二次瞳线弧 的首末端点作为首末控制顶点bo与b 及其切 线的交点作为控制二边形的内顶点6 ，然后再 给定位于凸包三角形bobt6z内瞳线弧上一点 P，共五个独立条件，唯一决定了位于凸包三角 图1 二次曲线弧的决定及其上点P的斜坐标 形内过P点的一段二次曲线弧(图1)。它可用 有理二次B~zier曲线表示为 P( )；p L J —可= 尝{ r= i 一’，0≤ ≤1 “ (1) 其中 ， ， 为分别与三顶点6。，b ，b 相联系的权因子。方程右端~~个控制顶点隐含 1993年9月6日收精；1994年3月5日收到修改精。本文系国家自然科学基金资助项目-施法中-196g年毕业于 沈阳末北工学院 1981年获北京航空航天大学硕士学位，副教授 主要研究领域为计算机辅助几何设计与辅助制造 计算机辅助设计与圆形学学报 四个独立条件 曲线上P点还与三个权因子及参数“有关，显然其中只有一个是独立的。 因此反算P点的参数“和三个权因子其解不唯一。如果使首末权因子 o= 一1，剩下一 个可调内权因子 ，就得到标准型的有理二次B~zier曲线。看怎样能唯一地决定标准型有 理二次B~zier曲线上P点的参数 与内权因子 呢? 2 反求参数与权因子方法一 在文献L2、3j的基础上，可以给出曲线上P点的如 F关系式 一『_一i_= ‘== ： — 一 (2) 戤一戤一 =百= ㈤ 其中(。，p)为在以b 为原点，控制二边形两边为坐标轴的斜坐标系里P点的一对斜坐标 (图1)。b 与b 分别有斜坐标(1—0)与(0，1)。 对于标准型有理二次B∈z 曲线， 一 一1，于是(2)与(3)两式相除可得点P的参 数 “一 —— 一=： (4) -_√吾 (2)与(3)两式相乘有 一glg2一壶 (5) 于是可得内权因子