应用概率统计 第三章.pptVIP

第五节 二维随机变量 函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? 一、二维离散型随机变量的函数的分布 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为 设z=g(x,y)为二元函数，因为(X,Y)是离散的，故Z=g(X,Y)也是离散型随机变量，现在求Z=g(X,Y)的分布律。 当X=xi，Y=yj时，Z 相应的值为z=g(xi，yj)且有 假设随机变量( X , Y )的分布律为 分别求Z1=X+Y，Z2=X-Y，Z3=XY的分布律，并判断Z1和Z2是否独立？ 解 且 例3.18 同理可得下表 化简整理，得各函数的分布律为： 因为 而 故Z1和Z2不相互独立。 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从参数为λ1和λ2的泊松分布。求Z=X+Y的分布律。 例3.19 解 由题意可知 故 由独立性 故 泊松分布具有可加性 思考：二项分布也具有可加性。 二、二维连续型随机变量的函数的分布 问题 已知( X , Y )的联合分布，求Z = g ( X , Y )的分布。 只讨论两种比较常见的函数： Ⅰ. Ⅱ. Ⅰ. Z=X+Y的分布 引例 （一般情况的推导）已知( X , Y )的概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度。 解 Z=X+Y的分布函数为 将二重积分化成累次积分 由X与Y的对称性又可得 特别地，当X 与Y 相互独立时，有 上式称为fX 与fY的卷积公式，记为fX *fY 。 书上82页例3，（以上结果可以推广到一般情况） 定理3.7 正态分布的可加性 若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，并且 (k=1,2,…,n)，则 其中αk为常数。 例3.20 设随机变量( X ,Y )的概率密度为 ⑴求Z=X+Y的概率密度fZ(z); ⑵求随机变量 X 的概率密度fX(x); ⑶求概率P{X+Y≤1}。 解 ⑴ Z=X+Y的概率密度为 例3.21 由 当z0时， 所以 当z≤0时， 或用另一个公式 同样可解出来，但注意图形坐标是关于 z 和 x 的。 ⑵ 关于 X 的边缘概率密度为 ⑶ 由⑴式可得 解（方法一）由题意可知，用卷积公式 则随机变量 Z=X+Y 的密度函数为 设随机变量X ,Y 相互独立，X 服从区间(0,1)上的均匀分布，Y 服从λ=1的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的密度函数。 例3.22 其中 即 (如右图) ③ 当0x1, x≤y时，如图 ⑵ 由于 ① 当x0或y0时，F(x,y)=0 ② 当0≤x1, 0≤yx时，如图 ④ 当1≤x1, 0≤y1时，如图 故 ⑤ 当1≤x, 0≤y时，如图 四、两个重要分布 ①均匀分布 (1)设平面区域D的面积为A，若随机向量（X，Y）的概率密度为 则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。 向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域D1的概率与小区域的面积成正比，而与D1的形状及位置无关，则质点的坐标 (X,Y)在D上服从均匀分布。 （2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有 ②二维正态分布 记为 若二维随机变量(X ,Y)的概率密度为 第二节 边缘分布 二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律，而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布。那么要问：二者之间有什么关系呢? 这一节里，我们就来探求这个问题 。 一、边缘分布函数 分别 设(X ,Y)的分布函数为 记X ,Y的分布函数为 和 的边缘分布函数。 ，称为关于X 和Y 同理可得 问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布? 解： (X ,Y)关于X的边缘分布函数为 同理， 已知(X ,Y)的分布函数为 例3.10 求(X ,Y)关于X ,Y的边缘分布函数FX(x) 和FY(y)。 二、离散型随机变量的边缘分布律 设(X ,Y)的分布律为 则(X ,Y)关于X的边缘分布律为 记作 记作 同理 通常用以下表格表示(X ,Y)的分布律和边缘分布律 解 ( X, Y ) 的可能取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 X ,Y 的边缘分布律 。 例3.11 由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。 三、连续型随机变量的