应用概率统计 第二章.pptVIP

其中， x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数。 定理2.9 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x, 恒有 或恒有 ，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为 此定理的 证明与前 面的解题 思路类似 Ⅱ. 公式法（只适用于单调函数） * * * * * * * * * * * 正态分布N(μ , σ2) 的分布函数 定义2.7 若X 的概率密度为 则称 X 服从标准正态分布，记为X~N(0,1)，X的分布函数为 的性质 : 事实上 , 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。 定理2.8 证明略。根据定理2.8，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。 书附录有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。 正态分布表 当 x 0 时 , 表中给的是 x 0 时, Φ(x)的值。 若 X～N(0,1), 若 ~N(0,1) 则 由标准正态分布的查表计算可以求得，当X～N(0,1)时， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。 P(|X|≤1)=2Ф (1)-1=0.6826 P(|X|≤2)=2Ф(2)-1=0.9544 P(|X|≤3)=2Ф(3)-1=0.9974 3σ 准则 将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，Y 的取值几乎全部集中在[μ -3σ， μ +3σ]区间内。这在统计学上称作“3σ准则”。 标准正态分布的上α 分位点 则称点 为标准正态分布的上α 分位点。 设X～N(0,1)，若数 满足条件 P(X≥ h)≤0.01 或 P(X h)≥ 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的h。 看一个应用正态分布的例子: 例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的。设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 解 设车门高度为h cm,按设计要求 例2.25 查表得Ф(2.33)=0.99010.99 因而 = 2.33, 即 h=170+13.98 184 设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01。 求满足P(X h ) ≥0.99的最小的 h。 因为 X～N(170,62), 所以 。 故 P(X h)= 解：⑴ 设随机变量X~N(0,1)，试求 ⑵ 例2.26 解 设随机变量X~N(2,9) ，试求： 例2.27 设X~N(3,σ 2)且P{1X3}=0.3，求P{X5}。 解 由图形可得 例2.28 P{X5}=0.5-0.3=0.2 第五节 随机变量函数 的分布 一、问题的提出 求截面面积A= 的分布。 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 已知t=t0 时刻噪声电压V 的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等。 随机变量的函数 设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X), 则Y也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值为y=g(x)。 本节的任务 已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X)，求随机变量Y的分布(分布律或分布密度)。 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率。 故 设X ，求 Y= 2X + 3 的概率函数。 ～ 例2.29 如果g( xk) 中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。 一般地，若X是离散型 r.v. ，X 的分布律为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 设某工程队完成某项工程所需时间为X(天)近似服从参数为μ =500，σ 2=52的正态分布，奖金方法规定，若在100天内完成，则得超产奖10000万元；若在若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成这项工程时，奖金额Y的分布律。 解 依题意X~N(100,52) 练一练 可见Y是X的函数，且是离散型随机变量。 则Y的分布律为 Ⅰ. 分布函数法（一般的函数都适用） ⑴ 先求Y=g(X)的分布函数FY(y), ⑵ 再利用Y=g(X)的分布函数与概率密度之间的关系求Y=g(X