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第1章 函数、极限与连续 例11 解： 求 在 u = 1 连续, 所以 例12 解： 求 连续, 从而 解 例13 求 * 第2章 极限与连续 * 第1章 函数 同学们： 1.1 函 数 1.2 极 限 1.3 连 续 1.2.2 函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 2.自变量x 趋于某定数 x0时函数的极限 1.2.3 无穷小量与无穷大量 1.2.4 极限的运算法则 1.2 极 限 1.2.5 两个重要极限→ 两个重要极限 两个重要极限的变换形式： 设 是某一过程中的无穷小，则 # 1.3.1 函数连续性的概念 1.3.3 初等函数的连续性 1.3.4 闭区间上连续函数的性质 1.3 函数的连续性 1.3.2 函数的间断点 1.3.1 函数连续性的概念 1. 变量的增量 研究函数 y＝x2，当x从初值1增加到终值1.1,函数值 y从1增加到1.21，我们把1.1－1＝0.1称为自变量的增量，把1.21－1＝0.21称为函数 y 的增量。 1.3.1 函数连续性的概念 一般地, 常用x0 表示自变量的初值，用 △x表示自变量的增量，则自变量的终值可 表示为x0＋△x，相应地 用△y表示函数值的增量， △y＝f( x0＋△x)－f(x0) 则 1. 变量的增量 函数在x0处连续的意义是指:当自变量在x0处的增量 △x为无穷小量时，函数的增量△y也为无穷小量。 这一定义说明了连续的本质：当自变量变化很微小时，函数值相应变化也很微小. 2. 函数连续性的定义 定义1-9 定义 设f (x)在点 x0 的某邻域内有定义, 则称 f (x)在点 x0 连续. 2. 函数连续性的定义 若 例1 证明： 证明 f (x) = 3x－1在 x = 1连续. 由定义知 f (x) = 3x－1在 x = 1连续. 例2 证明： 单侧连续的概念 设 f (x)在点 x0 的左(右)邻域内有定义,若 则称函数 f (x)在点 x0 左(右)连续. 函数 f (x)在点 x0 连续的充要条件是 f (x) 在 点 x0 即左连续又右连续. 例3 解： 设 ,讨论 f (x) 在 点 x = 0 的连续性. 故 在 x=0 左连续. 又因为 故 在x=0非右连续, 故 在x=0非连续. 对自变量的增量 相应函数的增量 左连续 右连续 函数 在点 连续有下列等价定义: 连续性等价定义 1.3.1 函数连续性的概念 在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 连续函数 例4 证明： 证明 f (x) = sin x 在定义域上连续. 任取 因为 由夹逼准则知 故sin x 在 x0 连续. 由 x0 的任意性知 在 上连续. 1.3.2 函数的间断点 1.3.2 函数的间断点 （1）可去间断点 若极限 存在,但不等于f (x0),则称x0是f (x) 的可去间断点. 例如: 因为 故 x=0 是 f (x) 的可去间断点. 函数间断点的分类 包括 f (x)在x0处无定义. （2）跳跃间断点 若极限 与 都存在但不相等，则称 x0 是 f (x)的跳跃间断点. 称为 f (x)在x0 的跳跃度. 解: 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 例5 第二类间断点 若极限 与 至少有一个不存在,则 称x0是f (x)的第二类间断点. 例如: 因为 故x=0是 f (x) 的 第二类间断点. 解: 例6 # 复合函数连续性 若函数 f (u)在 u0 连续, u=g (x)在 x0 连续,且 则复合函数 在 x0 连续. 连续函数的四则运算法则 设 f (x) , g (x)都在 x0 连续，则函数 在 x0 也连续. 基本初等函数在定义域内是连续的. 1.3.3 初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 例如： 的连续区间为 (端点为单侧连续) 1.3.3 初等函数的连续性 定义区间是指包含在定义域内的区间 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如: 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意　 若函数 f (u)在 u0 连续, 复合函数 在 x0 处极限存在. 且 连续函数的极限运算与函数运算的顺序可以互换, 或者说函数符号和极限符号可以互换位置。 即 这是证明函数连续和计算连续函数的极限常用的方法。 初等函数求极限的方法代入法(求极限的又一种方法). 可以利用初等函数的连续性求