分析力学基础第一章（4-6节）.pptVIP

§ 1-4 第二类拉格朗日方程 § 1-4 第二类拉格朗日方程 设：具有完整理想约束的非自由质点系有k个自由度，系统的广义坐标为： 对上式两边求变分，有： 注意： 代入动力学普遍方程： 有： § 1-4 第二类拉格朗日方程 对于完整约束系统，广义坐标相互独立，有 第二项与广义力对应，称为广义惯性力 做两个变换（证明略）： 有： § 1-4 第二类拉格朗日方程 得第二类拉格朗日方程： § 1-4 第二类拉格朗日方程 例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程 解：1、系统的自由度为k=3 2、系统的广义坐标：x,y,z 3、系统的动能： 4、系统的广义力： § 1-4 第二类拉格朗日方程 § 1-4 第二类拉格朗日方程 例：长为l，质量为m的匀质杆绕水平轴B转动，求其动力学方程 解：1、系统的自由度为k=1 2、系统的广义坐标： 3、系统的动能： 4、系统的广义力： § 1-4 第二类拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程的几种形式 1、当主动力均为有势力时 设：L=T-V (拉格朗日函数 动势) § 1-4 第二类拉格朗日方程 例：长为l，质量为m的匀质杆绕水平轴B转动，求其动力学方程 解：1、系统的自由度为k=1 2、系统的广义坐标： 3、系统的动能： 4、系统的势能： 5、拉格朗日函数： § 1-4 第二类拉格朗日方程 2、当主动力包括非有势力时 设：L=T-V(拉格朗日函数) 应用拉格朗日方程建立系统动力学的基本步骤： 1、确定系统的自由度和广义坐标 2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能 3、给出系统的拉格朗日函数 4、确定系统的广义力 § 1-4 第二类拉格朗日方程 例：图示机构在铅垂面内运动，匀质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的运动微分方程。AB=2l 解：1、系统的自由度 k = 2， 系统的广义坐标 2、系统的动能和势能 § 1-4 第二类拉格朗日方程 3、求非有势力的广义力 4、建立系统运动微分方程 § 1-4 第二类拉格朗日方程 4、建立系统运动微分方程 § 1-5 拉格朗日方程的初积分 一、能量积分 设：系统主动力为有势力 如果保守系统，且所受约束均为定常约束，拉格朗日方程中不显含时间t 即 这就是保守系统的机械能守恒定律，也称为拉格朗日方程的广义能量积分 对 两端乘以 ，并对k求和，得 § 1-5 拉格朗日方程的初积分 二、循环积分 设：系统主动力为有势力 循环坐标：拉格朗日方程中不显含的广义坐标qk(k=1,…,N) 拉格朗日函数： 则 该式称为循环积分 pk 称为对应于广义坐标qk(k=1,…,N)的广义动量 pk 可以是动量、也可以是动量矩 § 1-5 拉格朗日方程的初积分 例：给出拉格朗日方程的初积分 解：系统的主动力为有势力 系统的动能和势能分别为： 拉格朗日函数 不显含广义坐标 x 和时间 t § 1-5 拉格朗日方程的初积分 循环积分——系统的水平动量守恒 能量积分——机械能守恒 §1-6 第一类拉格朗日方程 §1-6 第一类拉格朗日方程 设描述系统的位形坐标： 系统的约束方程为： 对上式取变分： 引入拉格朗日乘子 对k求和 §1-6 第一类拉格朗日方程 系统的约束方程为： 交换求和顺序 比较动力学普遍方程 两式相减，有： §1-6 第一类拉格朗日方程 对于完整约束系统，选取合适的乘子，使 带拉格朗日乘子的质点系动力学方程， 即第一类拉格朗日方程 §1-6 第一类拉格朗日方程 解：1、系统的约束方程 2、约束方程对各质点坐标的梯度项为： 例：质量为m的质点被约束在光滑的水平轴y上运动，用第一类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 §1-6 第一类拉格朗日方程 2、约束方程对各质点坐标的梯度项为： §1-6 第一类拉格朗日方程 2、约束方程对各质点坐标的梯度项为： 3、主动力： 4、惯性力： 对 求 二阶导数，有： §1-6 第一类拉格朗日方程 第一章 分析力学基础 广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数 自由度：广义坐标的数目 即 在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目 广义虚位移： 为广义坐标 的变分，称为广义虚位移 第一章 分析力学基础 求广义力的方法： 法一：解析法 法二：几何法 法三：保守系统 动力学普遍方程 第一章 分析力学基础 第二类拉格朗日方程 1、当主动力均为有势力时 2、当主动力均为非有势力时 当系统为保守系统时，有： 1、若系统存在循环坐标q，则： 2、若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则： 第