精彩问题来自不断的反思与探索.DOC

对一个不等式证明的反思与探索 在高三的1B练习卷上，遇到到这样一个不等式： 设 （Ⅰ）求证 (1) （Ⅱ）求证：（2） 证明：不等式（1） 故不等式（1）得证. 由柯西不等式 所以 综合不等式（1）和（2）,得到一个有趣的双边不等式 （3） 我感觉此题简捷、优美，通过不断的反思与探索，想到如下几个问题 反思与探索1 将不等式（3）中的 改换为有何结论？ 已知则 (4) 证明：一方面 另一面 即不等式（4）的右不等式成立. 综合以上，不等式（4）得证. 反思与探索2 将不等式（3）中间的分母增加根式层次，有何结论？ 已知则 （5） 证明 一方面，不等式(5)的左不等式 即不等式（5）的左不等式成立. 另一面，再证不等式(5)的右不等式. 由已知条件得 即有 同理 从而 综上可知, 不等式（5）得证. 反思与探索3 将不等式（3）深化为三个字母，有何结论？ 已知 (6) 证明：先证左不等式，由柯西不等式得 再证右不等式，事实上 综上可知，所证不等式成立. 反思与探索 4 将不等式（5）深化为三个字母，有何结论？ 已知则 (7) 证明 先证左边的不等式，由三元均值不等式得 再证右边的不等式，显然 即有 同理 从而 综上可知，不等式（7）成立. 反思与探索 5 将不等式（4）深化为三个字母，有何结论？ 已知则 （8） 证明：给出下面的引理： 若则： （9） 先证左边的不等式： 由知问题得证. 再证右边的不等式：  考虑关于的函数，其对称轴，故在单调递减。又由可知：。不难验证：，故不等式得证. 由引理可知，要证不等式（8），只需证明： 若 则 不等式等价于不等式（4）的左部分. 而 上式显然成立，等号当且仅当时取得. 综上可知，不等式（8）得证，且等号当且仅当时成立. 反思与探索 6 能否将不等式（4）推广？ 猜想为：若，,,则. 当时,首先证明结论：对， 当时有.(9) 设,, ,，则, , ∴在上是上凸函数. 由琴生不等式：，∴， 即. 其次证明结论：对，若，其余的时有.(10) 当时由上知不等式成立. 当,有，若使， 则只能存在一个， 不妨设，，，则，， 只要证明：， 即证： ∵ ∴猜想获证. 1