引用後设认知学习观点於分数除法之教学.DOC

命中注定~~分子和分母要顛倒？ 《引用後設認知觀點於分數除法之教學》 楊雅芬 高雄縣茄萣國小敎師 謝淡宜 國立台南教育大學數學教育所副教授 劉曼麗 國立屏東教育大學數理教育所教授 前言 現今分數敎材往往以大人的角度詮釋其計算的數學原理、原則，學童無法以舊有觀念做本能的演繹。尤其是分數除法被國小敎師和學童認為是是最抽象、不易理解的單元，學童無法真正理解「除數顛倒－相乘」，就背誦算則來做計算。於是分數加減法有一套算則（須先通分再做分子的加減法），分數乘法又有一套算則（分子乘以分子、分母乘以分母），分數除法還有一套算則（除數顛倒－相乘），這麼多的算則記憶，不僅讓學童感到困惑，也常常混淆他們的分數解題學童對學習就感到無助與挫敗。該如何幫助學童真正理解分數除法的計算呢？引用後設認知觀點，設計分數除法教學活動，引導學童舊有認知處理分數除法新問題，符合學童本能的學習，幫助學童建構穩固的分數除法概念。學童在此教學活動中，主動統整連結相關的分數概念，進行有意義的學習。希望本文針對「分數除法」所提供的活動設計理念和教學活動，能對敎師的教學有所幫助。 一、教學活動設計之緣由 「數與量」是國小數學的最重要主題，學童在國小階段必須學習有關整數、分數、小數的數學知識。尤其是「分數除法」單元涵蓋多重的數學意義，且抽象、不易理解，在課程編排邏輯上，也是最後的單元，因此被安排在國小六年級下學期的課程，是統合國小學童各種「數與量」主題的概念之單元，也是驗收學童學習關於此主題的各種概念之單元。學童對分數概念的不理解，將會阻礙學生在國小之後的數學發展。但由教學經驗發現，沒有學童能主動將÷寫成÷＝（2×7）÷（5×3）＝，發現成人算則的存在，顯示現今教材無法連結學童的舊有認知經驗。÷＝÷＝，除非教師又提示學童：不將通分後的與寫出（但這又與分數加法、減法算則不同了），刻意寫成與，方能推論出「除數顛倒－相乘」之成人算則。也就是說現今教材並非以學童的舊有認知經驗為基礎，學童不能以其認知結構去同化分數除法新概念，無法本能地以舊經驗做演繹，於是學童必須記憶大人所詮釋的數學概念（不是真正的理解），造成了片段、無法連結的知識，也造成了學習的負擔。許多有關分數的研究（呂玉琴，1991；林福來、黃敏晃，1992；楊德清，2000）結果顯示，學童可以機械式操作分數的四則運算，卻無法理解分數四則運算的真正意義。關於分數教學的研究，罕驕蘭（2005）也指出學童對「分數的除法」在算則的理解上是較困難的，在計算上易產生錯誤狀況也是可預知的（學童不理解，所以就容易錯誤解題）。大部分學童不知為何分數除法變成乘法，也不知道為何要乘以除數的倒數，更鮮少有學童能夠解釋「除數顛倒－相乘」成人算則。甚至大部分老師或是家長也不懂得「除數顛倒－相乘」之由來，就直接教授學童背誦算則來計算（他們以前在國小階段也是這樣被教育的）。時間一久，大部分學童忘了如何背誦算則，也遺忘了分數四則運算的區別，當然對於分數運算的解題就錯誤百出了。而且隨著學童年齡的增長，需學習的數學概念會愈多，學童就對許許多多的數學算則愈感到困惑。這些片段、不連貫的算則記憶，不僅常常混淆學童的解題，也讓學童無法統整、連結相關的數學概念，更造成了學童的學習負擔。分數除法為主題，設計能引導學童成功建構分數除法概念的教學活動。 二、教學活動設計之理論依據 學童利用舊認知結構去同化新事物，達到認知結構的改變，學童便學習到新知識了（Piaget所說的同化與調適）。而在解題過程中，學童知道「何時使用」自己所學的知識，並且知道「如何協調」和「如何監控」多樣化的解題技巧，主動達到認知結構的新平衡，就是後設認知的學習（Mayer2001）。謝淡宜（1990）也主張，廣義的學習是學童以認知發展為基礎，應用舊認知結構去同化新事物，並做適度的調整。學童的知識是由舊有經驗開始，當經驗累積多了，就會開始察覺到一些規律。學童發現規律後，會自然的以舊有認知去解釋新事物的規律，若是舊有認知無法充分解釋新規律，學童就會調適原有的認知結構以適應新規律。學童能夠自己說明新規律的現象，或是解釋新規律時，就是真正的理解，才能有穩固的數學概念。也就是說以學童舊有認知為基礎的學習方式，使學童自己觀察情境、自己發現困難、自己解決問題，自然能知道如何應用數學知識，產生真正的理解。當學童對解題的過程愈趨理解與掌握時，就能逐步抽象化數學概念，建構穩固的數學概念。Sharp 和Adams（2002）分析五年級學童對分數除法概念的建構過程，發現學童所用的策略是運用他們已學會的分數加法、減法和整數除法概念（舊有認知），但沒有學童能發展出「除數顛倒－相乘」的除法成人算則。由Sharp 和Adams的研究得知，運用舊有認知的後設認知教學是學童本能的學習。學習是以學童為主體的。教師想要成功的