信道编码_第2章.ppt

第二章 线性分组码 例2.1 n =7， k =3的［7， 3］线性分组码的8个码字和信息组如表 2 - 1所示。 由于线性分组码是分组码的一类， 因此第一章中有关分组码的参数， 如码率R=k ／n 、 码字的距离与码的最小距离、 码字的重量等定义， 以及说明最小距离与纠错能力之间关系的定理1.3.1， 对线性分组码均适用， 这里不再赘述。 显然， R和d是分组码的两个最重要的参数， 因此今后我们用［n ， k ， d］(或［n ， k ］)表示线性分组码。 而用(n ， M， d)表示码字数目为M的任何码， 此时码率R=n –1 logqM。 ［n ， k ， d］分组码是一个群码， 因此若码字C1∈［n ， k ， d］、 C2∈［n ， k ， d］， 则由群的封闭性可知， 码字C1与C2之和C1+C2∈［n ， k ， d］， 即C1+C2也必是［n ， k ， d］分组码的一个码字。 所以， 两码字C1和C2之间的距离d(C1， C2)必等于第三个码字C1+C2的汉明重量。 如例2.1中的两个码字： (1010011)， (1101001)， 它们之间的距离是4， 它就是(0111010)码字的重量， 即  d(C1， C2)=w(C1+C2)  因此， 一个［n ， k ， d］分组码的最小距离必等于码中非零码字的最小重量， 由此可得如下定理。 定理2.1.1 ［n ， k ， d］线性分组码的最小距离等于非零码字的最小重量。 定理2.1.2 GF(2)上［n ，k ， d］线性分组码中， 任何两个码字C1， C2之间有如下关系： w(C1+C2)=w(C1)+w(C2)-2w(C1·C2) 或 d(C1， C2)≤w(C1)+w(C2)  式中， C1·C2是两个码字的内积。 推论2.1.1 GF(2)上线性分组码任3个码字C1， C2， C3之间的汉明距离， 满足以下三角不等式 d(C1， C2)+d(C2， C3)≥d(C1， C3)  证明 设码字Ca=C1+C2， Cb=C2+C3， 可知： w(Ca+Cb)=w(C1+C2+C2+C3)=w(C1+C3) =d(C1， C3)≤w(Ca)+w(Cb)=w(C1+C2)+w(C2+C3)。 所以  d(C1， C3)≤d(C1， C2)+d(C2， C3) 定理2.1.3 任何［n ， k ， d］线性分组码， 码字的重量或全部为偶数， 或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字数。 二、码的一致校验矩阵与生成矩阵 1、概述 c6+0 +c4+c3+0 +0 + 0 =0  c6+c5+c4+0 +c2+0 +0 =0 c6+c5+0 +0 +0 +c1+0 =0  0 +c5+c4+0 +0 +0 +c0=0 例2.2 c6=1， c5=0， c4=1， 求c3， c2， c1， c0。 由上述线性方程组可知：  c3=c6+c4=1+1=0 c2=c6+c5+c4=1+0+1=0 c1=c6+c5=1+0=1 c0=c5+c4=0+1=1 由此得到的码字为： (1010011)。 可以检验例2.1中的［7， 3， 4］码的8个码字均满足上面两个式子。 若用矩阵形式表示这些线性方程组， 则可表示为： 称上式中的4行7列矩阵为［7， 3， 4］码的一致校验矩阵， 通常用H 表示， 它是一个(n -k )×n 阶矩阵。 由此H矩阵可以很快地建立码的线性方程组： 它是一个(n -k )×n 阶矩阵。 由此H矩阵可以很快地建立码的线性方程组： 或 可知H矩阵的每一行代表一个线性方程组的系数， 它表示求一个校验元的线性方程。 因此任何一个 ［n ， k ， d］码的H矩阵必须有n -k 行， 且每行必须线性独立。 若把H的每一行看成一个矢量， 则这n -k 个矢量必然张成了n 维线性空间中的一个n -k 维子空间 Vn ， n -k 。 若把这组基底写成矩阵形式， 则有 ［n ， k ， d］码中的任何码字， 都可由这组基