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余弦定理新的证明探讨 摘 要 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，是解决数理学科和前沿科学领域中相关问题的一种有效的重要方法。它是代数学中的重点和难点，在解决三角问题、函数问题等方面发挥了重要的作用。国内外有关余弦定理证明的探讨和应用及其推广的研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对余弦定理的证明与应用的研究主要是由于前沿科学领域及实际生活发展的需要，在教学中寻求新的证明探讨涉及甚少，而国内在寻求其新的证明探讨与应用方面的研究甚为广泛。但余弦定理新的证明方法及推广与应用仍有值得研究的问题。比如：余弦定理通常用于求解三角函数问题，而其用途不仅仅限于此，如：余弦定理证明在数学教学、数学分析、立体几何中的应用等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究其新的证明方法，并将其做相应的推广来解决相关问题，扩宽其应用的范围，使得在运用余弦定理解决代数问题和几何问题方面更加实用方便，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广，体现了其不同证明方法的新颖性和优越性. 关键词：余弦定理；勾股定理；证明；定理；推论 目 录 1 引言 1 2 文献综述 1 2.1国外研究现状 1 2.2国内研究现状 1 2.3国内外研究现状评价 1 2.4提出的问题 2 3 余弦定理的数学思想史略 2 3.1三角学的确立与发展状况 2 3.2余弦定理的由来 2 4 余弦定理及其新的证明 3 4.1关于余弦定理的注记 3 4.2余弦定理新的证明 5 4.2.1从几何角度直观证明余弦定理 5 4.2.2角余弦定理的证明与应用 7 4.2.3证明余弦定理又一方法 9 4.2.4立体几何的余弦定理及其证明 10 4.2.5 n维余弦定理的新证明 13 5 总结 15 5.1 主要发现 15 5.2 启示 15 5.3 局限性 16 5.4 努力方向 16 6 参考文献 16 1引言 余弦定理的证明及推广应用的发展历程在三角函数、立体几何等数学领域已经凸显出巨大的潜在价值，关于它的研究，已有许多独特而新颖的硕果。余弦定理通常应用于三角问题、函数问题、几何问题及数理天文学问题等方面的求解，国内和国外的研究各有其独到之处。现有对余弦定理的证明方法的探讨及推广应用，体现了其重要性和应用的广泛性，如：余弦定理证明在中学数学教学、数学分析、立体几何中的应用等等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的证明方法，并将其做相应的推广应用来解决相关问题，这样的研究值得深入探究.基于对已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广应用，体现了其证明与应用的新颖性和优越性. 2 文献综述 2.1国外研究现状 国外对余弦定理的研究主要是应用于解决数理天文学和其他学科如测量学与地理学方面的问题，而在教学上探讨新的证明则很少涉及 .天文学家阿尔.巴塔尼的《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.在该书中阿尔.巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切；发现球面三角形余弦定理，继而为平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的发现奠定了基础，其证明的思想方法具有一定新颖性,值得借鉴. 2.2国内研究现状 国内有关余弦定理的理论从国外引进，在立体几何、双曲平面上以及现实生活中发挥了重要的作用，国内余弦定理很少谈及学科领域的相关证明问题，但相关的应用有一定发展。 如：王书在其编写的数学解题方法与技能中较详细地阐述了利用三角法进行复数的乘方计算，先把复数写成三角函数式后，角按公式（n是正整数）计算比较容易；刘鸿坤、曾容、李大元等编著的中、美历届数学竞赛试题精编第三十二届美国中学数学竞赛试题（1981年）中的第24题的应用，将超越方程利用三角函数式转化为复数形式求解，说明了余弦定理在数理学科领域的重要性. 2.3国内外研究现状的评价 上述文献中已给出了余弦定理相关的探讨和应用，说明了余弦定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地. 在余弦定理证明与应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛,而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值,可以作为研究的理论基础；而国外,更多的研究主要在于将余弦定理应用于解决前沿学科（如数理天文学、历法、航海等）的问题.但在学科领域的不同方面能否得到