第十九章几何证明.docVIP

18.1（1）命题和证明　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我们分别用几种方法来导出“对顶角相等”？　 师生一起回忆解决.　 方法一：直观说明; 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　D、E、F分别是AC、AB、BC上的一点，DF∥AB，∠DFE=∠A.　 求证：EF∥AC.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　DC两条线段不在同一个三角形之中，那么找到它们所在的两个三角形，再推理这两个三角形全等即可.　　 【说明】通过挖掘图形中的隐含条件对顶角相等、公共边. 用两种方法证明两个三角形全等，学会一题多解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例题5 已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.　 求证：BE‖CF.　 分析： 要证明BE‖CF，只要证明∠1＝∠2；已知∠ABE＝∠DCF，又由三角形的外角性质可知∠1＝∠A＋∠ABE，∠2＝∠D＋∠DCF，因此只要证明∠A＝∠D.　　 证明:（略）.　 另解1，分析：要证明BE‖CF，只要证明∠1＝∠2；只需要证明△BOE≌△COF；由已知OB=OC，对顶角∠BOA=∠COD，可知只要证明OE=OF.由已知条件OA=OD、AE=DF即可得到OE=OF.　　 证明:（略）.　　 另解2，分析：要证明BE‖CF，只要证明∠EBO＝∠FCO；由图可知∠ABO＝∠EBO＋∠ABE，∠DCO＝∠FCO＋∠DCF，因为已知∠ABE＝∠DCF，所以只要证明∠ABO＝∠DCO；因此只要证明△AOB≌△DOC.　 证明:（略）.　　 【说明】由于上一节内容中主要运用了“执因索果法”，利用多种方法解一道题，对提高学生思维的灵活性大有帮助.所以，在本例题中也以同样的要求来对待.　　 2．学习新知　　　求证：AB=DC.　　　△ABE≌△DCE；由AE=DC，可知∠3＝∠4，又因为AD∥BC，所以得到∠1＝∠2；只要再找出一条边或一个角的情况即可；结合E是线段BC的中点，可知EB=EC，可以证明△ABE≌△DCE.　 证明:(略).　　　　　　例题5变形1： 已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.　 求证：BE‖CF.　 分析： 要证明BE‖CF，只要证明∠E＝∠F；已知∠ABE＝∠DCF，又由三角形的外角性质可知∠E＝∠BAO﹣∠ABE，∠F＝∠CDO﹣∠DCF，因此只要证明∠BAO＝∠CDO.　 证明:（略）.　　　　　　AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.　　　BE‖CF.　　　　　　设计本例进一步帮助　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．?例题讲解　　 例题7 已知，如图，DB⊥AB,DC⊥AC,且∠1=∠2.　　　　　　　　 ∴△ABD≌△ACD(A.A.S).　 ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).　　　　　　中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F.　 求证:BF⊥AD.　　　　　　(垂直的定义).　　　.　　　≌.　 ∴(全等三角形的对应角相等).　 在中,(三角形的内角和等于180°),　 在中, (三角形的内角和等于180°),　　　(等量代换).　 ∴(等式性质).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　?例题讲解　　 例题9 已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中, AB=A’B’,BC= B’C’,CA=C’A’.　　 求证: △ABC≌△A’B’C’.　　 　　　　　 　　 　　　　　　　　　’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.　　　’B’,AC=A’C’(已知),　　 ∴∠1=∠2, ∠3=∠4(等边对等角).　　 ∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).　　　’A’C’=∠BAC.　　 在△ABC与△A’B’ C’中,　 AB=A’B’(已知)　　　’A’C’=∠BAC(已证)　　 AC=A’C’(已知),　 ∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).　　　　　　　　　∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).　　 【说明】?本例是证明两个角相等，比较自然地会想到利用三角形全等.但通过分析，发现需要证两次三角形全等，有一定难度.对本例还介绍了通过构造等腰三角形来进行证明的第二种方法.两种方法都需要添加辅助线构造三角形，第一种方法的证明过程相对复杂些，但较第二种方法