第二章函数概念与基本初等函数典型例题整理后.docVIP

第二章　函数概念与基本初等函数 经典例题导讲 [例1] 　　　（2）从M到N的映射满足 (a)(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数. 解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 一共有27个映射 （2）符合条件的映射共有4个 [例]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域 解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足 ，∴的定义域是[－1，0] [例3]已知：，求. 解：∵ ， ∴＝＝＝7-5＝2　 [例4]求函数，的值域. 解：配方，得 ∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2， 的值域是 [例5]根据条件求下列各函数的解析式： （1）已知是二次函数，若，求. （2）已知，求 （3）若满足求 解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解 设＝由于得， 又由，∴ 即　 　　因此：＝ (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解 设 ∴＝　　（） （3）由于为抽象函数，可以用消参法求解 　用代可得： 与　　　　　 　联列可消去得：＝. 点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. [例6] 已知，试求的最大值. 分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值. 解 由 得 又 当时，有最大值，最大值为 点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下： 由 得 当时，取最大值，最大值为 这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. [例7]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有 ，求的表达式. 解法一：由，设， 得，所以＝ 解法二：令，得 即 又将用代换到上式中得＝ §2.2函数的性质 经典例题导讲 [例1]判断函数的单调性. 解：　令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数， ∴　是增函数 [例2]判断函数的奇偶性. 解：有意义时必须满足 即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 [例3] 判断的奇偶性. 解：方法一：∵ ＝＝＝－ ∴是奇函数 　　方法二：∵ ＝ 　　∴是奇函数 [例4]函数y=的单调增区间是_________. 解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是 [例5] 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,求x的取值范围. 解：由,故0x, 又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x－33－x2,即x2+x－60,解得x2或x－3,综上得2x,即A={x|2x}, [例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2). 分析在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解(1)当x≥2时，即x-2≥0时， 当x2时，即x-2＜0时， 所以 这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出() (2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x； 当0x＜1时，lgx＜0， 所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.() 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. [例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围 解：设 　　　 　　　由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得 ∴a＞ [例8] 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴