01--1 绪论B(数学知识).pptVIP

* 数学知识 一、微积分 二、 矢量 微积分 §1. 函数、导数与微分 （一）变量、常量和函数 1.变量：在某现象或过程中本身的取值会发生变化的量。 常用字母x，y，z和t表示变量 eg. 随着时间的流逝，时间是变量； 随着一年四季气温的变化，温度是变量； 随着物体的运动，物体位置坐标是变量。 2.常量：在某现象或过程中凡取值保持一定的量。 有些常量在任何问题中均以确定的数值出现，称为 绝对常量；有些常量的数值需要在具体问题中给定， 称为任意常量或待定常量。 常用a，b，c表示常量 3.函数：设x和y是两个变量，如果当x在其变域D内任意取定 一数值时，变量y按照一定法则总有确定的数值和它 对应，则称y是x的函数，x叫作自变量，y又叫作因 变量，写作： y=f（x） 变域D叫作这个函数的定义域，而所有的数值则构成 y的值域R。 eg. 物体运动时，自某一确定时刻开始的位移为时间的函数， 记作：s=s(t)； 在体积一定时，气体压强为温度的函数，记作：p=p(T)。 若y为z的函数，y=f(z)；而z又是变量x的函数，即z=g(x)，则称为x的复合函数，记作： y=Ф(x)=f[g(x)]； 其中z=g(x)则称为中间变量。 （二）导数 1.定义： 即 存在, 若 并称此极限为 则称函数 在点 处可导, 在点 的导数。 在点 的某邻域内有定义 , 设函数 实际上，函数y=f(x)在 处的导数，就是函数在 附近的平均 变化率当自变量增量趋于零时的极限，它反映着在 处的函数 f(x)随自变量而变的增减趋势和变化快慢。 2.几何意义： L P Q T 曲线表示y=f(x)的函数图象。 在区间[ ]上取函数 增量 为函数在 上 的平均变化率，在数值上等于 与 相对应的函数曲线割线T 的斜率，即函数f(x)在 处的导数等于[ ]处f(x)曲线切线的斜率。 基本的导数公式： 导数的基本运算法则： ( C为常数 ) ( C为常数 ) （三）函数的极值点和极值 若函数y=f(x)在点 的附近，即在 某一邻域内有定义，且 比在 某邻域内所有各点f(x)的值都大（或都小），则称 是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。 若函数f(x)在点 附近有连续的导函数 且 ， 而 ，则 时f(x)在 处取极大值； 时 函数f(x)在点 处取极小值。 （四）微分 若函数y=f(x)在点x处可导，则y=f(x)在点x处的导数 与自变量增量 的乘积称作函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy， 将 记作dx，称作自变量的微分 即函数的微分是自变量增量或微分dx的线性函数 §2. 不定积分 （一）原函数 设f(x)是定义在某一区间上的函数，若存在函数F(x),使得 在这个区间上的每一点有 则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数 若F(x)是f(x)的一个原函数，又若C为任意常数，由于C的 导数为零，则F(x)+C也是f(x)的原函数。由此，统一用F(x)+C 表示其原函数。 （二）不定积分 1.定义： 函数f(x)的所有原函数叫作f(x)的不定积分，记作 用F(x)表示f(x)的一个原函数，则 2.性质： 3.基本的积分公式: (C为积分常数) 4.不定积分的运算法则 §3. 定积分 （一）定义 任一种分法 任取 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 （二）定积分的主要性质 ( k 为常数) （三）牛顿-莱布尼茨公式 函数 , 则 *